Упражнение 813 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Если \(b + c = 10\), то

\( (10a + b)(10a + c) = \)

\(=100a(a + 1) + bc\)

Доказательство:

\( (10a + b)(10a + c) = \)

\(=100a^2 + 10ac + 10ab + bc =\)

\(=100a^2 + (10ab + 10ac) + bc =\)

\(=100a^2 + 10a(b + c) + bc= \)

\(= 100a^2 + 10a\cdot10 + bc = \)

\(=100a^2 + 100a + bc = \)

\(=100a(a+1) + bc. \)

а) \(a=2,\;b=3,\;c=7\)

\(23 \cdot 27 = 100\cdot2\cdot3 + 3\cdot7 =\)

\(=600 + 21 = 621. \)

б) \(a=4,\;b=2,\;c=8\)

\(42 \cdot 48 = 100\cdot4\cdot5 + 2\cdot8 =\)

\(=2000 + 16 = 2016. \)

в) \(a=5,\;b=9,\;c=1\)

\(59 \cdot 51 = 100\cdot5\cdot6 + 9\cdot1 =\)

\(=3000 + 9 = 3009. \)

г) \(a=8,\;b=4,\;c=6\)

\(84 \cdot 86= 100\cdot8\cdot9 + 4\cdot6 =\)

\(=7200 + 24 = 7224. \)

Пояснения:

1. Раскрытие скобок: мы применили правило умножения многочлена на многочлен, умножив каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена

\((a + b)(c + d)=ac + ad + bc + bd\).

2. Условие \(b+c=10\): позволяет заменить сумму \(b + c\) на 10 и выделить общий множитель \(100a\).

3. Применение к двузначным числам: любое двухзначное число записывается как \(\overline{ab}=10a+b\), где \(a\) — десятки, \(b\) — единицы; а второе число с теми же десятками

\(\overline{ac}=10a+c\),  где \(a\) — десятки, \(c\) — единицы.

а) \((a^2 - 2b)^2 =\)

\(=(a^2)^2 - 2\cdot a^2\cdot 2b + (2b)^2=\)

\(=a^4 - 4a^2b + 4b^2.\)

б) \((x^3 + 3y^4)^2 =\)

\(=(x^3)^2 + 2\cdot x^3\cdot 3y^4 + (3y^4)^2=\)

\(=x^6 + 6x^3y^4 + 9y^8.\)

в) \((7a^6 + 12a)^2 =\)

\(=(7a^6)^2 + 2\cdot 7a^6\cdot 12a + (12a)^2=\)

\(=49a^{12} + 168a^7 + 144a^2.\)

г) \((15x - x^3)^2 = \)

\(=(15x)^2 - 2\cdot 15x\cdot x^3 + (x^3)^2=\)

\(=225x^2 - 30x^4 + x^6.\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

3) При выполнении преобразований, использовали свойства степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n;\)

\((a^m)^n = a^{mn};\)

\(a^m\cdot{a^n} = a^{m+n}.\)