Упражнение 829 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 169

а) \((a^2 - 2b)^2 =\)

\(=(a^2)^2 - 2\cdot a^2\cdot 2b + (2b)^2=\)

\(=a^4 - 4a^2b + 4b^2.\)

б) \((x^3 + 3y^4)^2 =\)

\(=(x^3)^2 + 2\cdot x^3\cdot 3y^4 + (3y^4)^2=\)

\(=x^6 + 6x^3y^4 + 9y^8.\)

в) \((7a^6 + 12a)^2 =\)

\(=(7a^6)^2 + 2\cdot 7a^6\cdot 12a + (12a)^2=\)

\(=49a^{12} + 168a^7 + 144a^2.\)

г) \((15x - x^3)^2 = \)

\(=(15x)^2 - 2\cdot 15x\cdot x^3 + (x^3)^2=\)

\(=225x^2 - 30x^4 + x^6.\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

3) При выполнении преобразований, использовали свойства степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n;\)

\((a^m)^n = a^{mn};\)

\(a^m\cdot{a^n} = a^{m+n}.\)

а) \( (x + 3)^3 - (x - 3)^3 =\)

\(=\bigl(x^3 + 9x^2 + 27x + 27\bigr) - \bigl(x^3 - 9x^2 + 27x - 27\bigr)= \)

\( = \cancel{x^3} + 9x^2 + \cancel{27x} + 27 -\cancel{x^3} + 9x^2 - \cancel{27x} + 27 =\)

\(=18x^2 + 54. \)

б) \( (a - 2b)^3 + 6ab(a - 2b) =\)

\(=\bigl(a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3\bigr) + \bigl(6a^2b - 12ab^2\bigr) =\)

\(=a^3 - \cancel{6a^2b} + \cancel{12ab^2} - 8b^3 + \cancel{6a^2b} - \cancel{12ab^2} =\)

\( = a^3 - 8b^3.\)

Пояснения:

Использованные приемы и формулы:

1. \( (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \) - куб разности двух выражений.

2. \( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \) - куб суммы двух выражений.

3. При раскрытии формул, использовали свойство степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

4. Вычитание одного многочлена из другого: у многочлена, перед которым стоит знак минус, при раскрытии скобок нужно поменять все знаки на противоположные.

5. Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c) = ab + ac\).

6. Правило сложения подобных членов: складываем коэффициенты при одинаковых степенях переменных:

\(ax + bx=(a+b)x\).

а) Раскрыли оба куба по формуле и вычли полученные многочлены: противоположные члены сократили.

б) Раскрыли \((a - 2b)^3\) и раскрыли произведение \(6ab\,(a - 2b)\). При сложении полученных многочленов противоположные члены сократились.