Упражнение 867 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( (x^2 + 4xy - y^2)(2y - x) =\)

\(= 2x^2y - x^3 + 8xy^2 - 4x^2y - 2y^3 + xy^2 =\)

\(= -x^3 - 2x^2y + 9xy^2 - 2y^3. \)

б) \( (3 - a)(a^3 - 4a^2 - 5a) = \)

\(= 3a^3 - 12a^2 - 15a - a^4 + 4a^3 + 5a^2=\)

\(= -a^4 + 7a^3 - 7a^2 - 15a. \)

в) \( (a^2 - 4ab + b^2)(2a - b) =\)

\(= 2a^3 - a^2b - 8a^2b + 4ab^2 + 2ab^2 - b^3 =\)

\(= 2a^3 - 9a^2b + 6ab^2 - b^3. \)

г) \( (x - p)(x^2 + px + p^2) =\)

\(= x^3 + \cancel{p x^2} + \cancel{p^2 x} - \cancel{p x^2} - \cancel{p^2 x} - p^3 =\)

\(= x^3 - p^3. \)

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

1) Умножение многочлена на многочлен: каждый член одного многочлена умножаем на каждый член второго многочлена, при этом учитываем свойство степени:

\(a^m\cdot{a^n} = a^{m+n}.\)

2) Приведение подобных членов: сумма одночленов с одинаковой буквенной частью сводится к произведению суммы коэффициентов на эту буквенную часть:

\(ax+bx=(a+b)x\).

3) Сумма противоположных членов равна нулю, поэтому в решении их вычеркиваем.

Пояснение к пункту а):

Сначала каждое слагаемое из первого множителя умножили на каждый множитель второго: \(x^2\), \(4xy\), \(-y^2\) на \(2y\) и на \(-x\). Затем сложили полученные одночлены и привели подобные:

\(2x^2y - 4x^2y = -2x^2y\),

\(8xy^2 + xy^2 = 9xy^2\).

Пояснение к пункту б):

Умножили каждый член \(3\) и \(-a\) на многочлен \(a^3 - 4a^2 -5a\). Затем привели подобные:

\(3a^3 + 4a^3 = 7a^3\),

\(-12a^2 +5a^2 = -7a^2\).

Пояснение к пункту в):

Аналогично пункту а), только здесь первый множитель даёт три одночлена \(a^2\), \(-4ab\), \(b^2\), каждый из которых умножается на \(2a\) и на \(-b\). После привели подобные:

\(-a^2b -8a^2b = -9a^2b\),

\(4ab^2 +2ab^2 = 6ab^2\).

Пояснение к пункту г):

Раскрытие показывает полное сокращение средних членов: \(px^2 - px^2 = 0\), \(p^2x - p^2x = 0\). Остаётся \(x^3 - p^3\).

а) \(2(x - 3)(x + 3) =\)

\(=2(x^2 - 9) = 2x^2 - 18\).

б) \(y(y + 4)(y - 4) =\)

\(=y(y^2 - 16) = y^3 - 16y\).

в) \(5x(x + 2)(x - 2) = \)

\(=5x(x^2 - 4) = 5x^3 - 20x\).

г) \(-3a(a + 5)(5 - a) = \)

\(=-3a(5 + a)(5 - a) = \)

\(=-3a\,(25 - a^2) =\)

\(=-75a + 3a^3 = 3a^3 - 75a\).

д) \((0{,}5x - 7)(7 + 0{,}5x)(-4x) =\)

\(=(0{,}5x - 7)(0{,}5x + 7)(-4x) =\)

\(=-4x(0{,}25x^2 - 49) =\)

\(=-x^3 + 196x = 196x - x^3\).

е) \(-5y(-3y - 4)(3y - 4) =\)

\(=5y(3y + 4)(3y - 4) =\)

\(=5y\,(9y^2 - 16) = \)

\(=-80y + 45y^3 = 45y^3 - 80y\).

Пояснения:

Использованные формулы:

1) \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

2) Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b + c) = ab + ac\).

Также помним, чтобы записать сумму, противоположную сумме нескольких слагаемых, надо изменить знаки данных слагаемых:

\(-(a + b) = -a - b.\)

При выполнении преобразований, использовали свойство степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

В пунктах а), б), в) и д) сначала применяем формулу, затем умножаем полученный многочлен на одночлен, стоящий за скобкой.

В пункте г) сначала меняем слагаемые местами в первой скобке, затем применяем формулу и далее умножаем полученный многочлен на одночлен, стоящий за скобкой.

В пункте е) сначала выносим минус из первой скобки, а все знаки в ней меняем на противоположные, при этом минус. стоящий перед выражением изначально и минус, вынесенный из первой скобки, в итоге дают знак плюс. Затем применяем формулу и далее умножаем полученный многочлен на одночлен, стоящий за скобкой.