Упражнение 871 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 175

а) \((y - 4)(y + 4) = y^2 - 4^2 =\)

\(=y^2 - 16\)

б) \((p - 7)(p + 7) = p^2 - 7^2 =\)

\(=p^2 - 49\)

в) \((4 + 5y)(5y - 4) = (5y)^2 - 4^2 =\)

\(=25y^2 - 16\)

г) \((7x - 2)(7x + 2) = (7x)^2 - 2^2 = \)

\(=49x^2 - 4\)

д) \((8b + 5a)(5a - 8b) =\)

\(=(5a)^2 - (8b)^2 =\)

\(=25a^2 - 64b^2\)

е) \((10x - 6c)(10x + 6c) = \)

\(=(10x)^2 - (6c)^2 = \)

\(=100x^2 - 36c^2\)

Пояснения:

Использованная формула:

\( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Также помним свойство степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

а) \((x - y)(x + y)(x^2 + y^2)=\)

\(=(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)=\)

\(=(x^2)^2 - (y^2)^2=x^4 - y^4\).

б) \((2a + b)(4a^2 + b^2)(2a - b)=\)

\(=(2a + b)(2a - b)(4a^2 + b^2)=\)

\(=((2a)^2 - b^2)(4a^2 + b^2)=\)

\(=(4a^2 - b^2)(4a^2 + b^2)=\)

\(=(4a^2)^2 - (b^2)^2=16a^4 - b^4\).

в) \((c^3 + b)(c^3 - b)(c^6 + b^2)=\)

\(=((c^3)^2 - b^2)(c^6 + b^2)=\)

\(=(c^6 - b^2)(c^6 + b^2)=\)

\(=(c^6)^2 - (b^2)^2=c^{12} - b^4\).

г) \((3m - 2)(3m + 2)+ 4=\)

\(=(3m)^2 - 2^2+ 4=\)

\(=9m^2 - 4 + 4=9m^2\).

д) \(25n^2 - (7 + 5n)(7 - 5n)=\)

\(=25n^2 - (7^2 - (5n)^2)=\)

\(=25n^2 - (49 - 25n^2)=\)

\(=25n^2 - 49 + 25n^2)=\)

\(=50n^2 - 49\).

е) \(6x^2 - (x - 0{,}5)(x + 0{,}5)=\)

\(6x^2 - (x^2 - 0{,}5^2)=\)

\(=6x^2 - (x^2 - 0{,}25)=\)

\(=6x^2 - x^2 + 0{,}25=5x^2 + 0{,}25\).

Пояснения:

Использованные правила:

1) \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

2) Раскрытие скобок: если перед скобками стоит знак минус, то при их раскрытии нужно поменять все знаки в скобках на противоположные:

\(a - (b + c) = a - b - c\).

3) Приведение подобных членов: складываем (вычитаем) коэффициенты у одночленов, имеющих одинаковую буквенную часть:

\(ax + bx = (a + b)x\).

5) Свойства степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n;\)

\((a^m)^n=a^{m\cdot{n}}\).

В пунктах а) - в) дважды применили формулу произведения разности двух выражений и их суммы, учитывая свойства степени.

В пунктах г) - е) - сначала применили формулу произведения разности двух выражений и их суммы, затем раскрыли скобки, учитывая знак, стоящий перед ними, и привели подобные слагаемые.