Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№874 учебника 2023-2025 (стр. 176):
Впишите вместо знака «*» одночлен так, чтобы получилось тождество:
а) \((2a + *)(2a - *) = 4a^2 - b^2\);
б) \((* - 3x)(* + 3x) = 16y^2 - 9x^2\);
в) \((* - b^4)(b^4 + *) = 121a^{10} - b^8\);
г) \(m^4 - 225c^{10} = (m^2 - *)(* + m^2)\).
№874 учебника 2013-2022 (стр. 176):
(Для работы в парах.) Докажите, что сумма произведения трёх последовательных целых чисел и среднего из них равна кубу среднего числа.
1) Проверьте утверждение на примере чисел 19, 20, 21.
2) Составьте выражение, обозначив через \(p\) одно из этих чисел, и выполните преобразование составленного выражения. Одному учащемуся рекомендуем обозначить через \(p\) наименьшее из чисел, а другому — среднее из чисел.
3) Проверьте друг у друга правильность преобразований и сравните их сложность.
№874 учебника 2023-2025 (стр. 176):
Вспомните:
№874 учебника 2013-2022 (стр. 176):
Вспомните:
№874 учебника 2023-2025 (стр. 176):
а) \((2a + b)(2a - b) = (2a)^2 - b^2 =\)
\(=4a^2 - b^2\)
Ответ: \(* = b\).
б) \((4y - 3x)(4y + 3x) =\)
\(=(4y)^2 - (3x)^2 = 16y^2 - 9x^2\)
Ответ: \(* = 4y\).
в) \((11a^5 - b^4)(b^4 + 11a^5) =\)
\(=(11a^5)^2 - (b^4)^2 = 121a^{10} - b^8\)
Ответ: \(* = 11a^5\).
г) \(m^4 - 225c^{10} =\)
\(=(m^2 - 15c^5)(15c^5 + m^2) = \)
\(=(m^2 - 15c^5)(m^2 + 15c^5)\)
Ответ: \(* = 15c^5\).
Пояснения:
Использованная формула:
\( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.
Также помним свойства степени:
\((a\cdot{b})^n = a^nb^n;\)
\((a^m)^n= a^{m\cdot{n}}.\)
№874 учебника 2013-2022 (стр. 176):
1) \((19\cdot20\cdot21)+20=\)
\(=7980+20=8000\)
\(20^3=8000.\)
2) Пусть \(p\) — наименьшее число, тогда числа \(p,\;p+1,\;p+2\).
\(p\cdot(p+1)\cdot(p+2)+(p+1)=\)
\(=(p^2+p)(p+2) + p + 1=\)
\(=p^3+2p^2+p^2+2p+p+1=\)
\(=p^3+3p^2+3p+1=(p+1)^3.\)
Пусть \(p\) — среднее число, тогда числа \(p-1,\;p,\;p+1\).
\((p-1)\,p\,(p+1)+p=\)
\(=p(p-1)(p+1)+p=\)
\(=p(p^2-1) + p=\)
\(=p^3 - \cancel{p} + \cancel{p}=p^3.\)
3) В обоих случаях получаем куб среднего: \((p+1)^3\) или \(p^3\).
Пояснения:
Использованные приемы и правила:
1. \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) - произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.
2. \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\) - куб суммы двух выражений.
3. Умножение одночлена на многочлен:
\(a(b+c) = ab + ac\).
4. Умножение многочлена на многочлен:
\((a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd\).
5. Приведение подобных членов: складываем (вычитаем) коэффициенты у одночленов, имеющих одинаковую буквенную часть:
\(ax + bx = (a + b)x\).
В том случае, когда \(p\) — наименьшее число, тогда три последовательных целых числа \(p,\;p+1,\;p+2\), при выполнении преобразований используем правила умножения одночлена на многочлен и многочлена на многочлен, затем приводим подобные и получаем формулу куба суммы двух выражений, то есть куб среднего числа.
В том случае, когда \(p\) — среднее число, тогда три последовательных целых числа \(p-1,\;p,\;p+1\), при выполнении преобразований сначала используем формулу произведения разности двух выражений и их суммы, затем правило умножения одночлена на многочлен и сокращаем противоположные члены, так как их сумма равна нулю, получаем куб среднего числа.
Вернуться к содержанию учебника