Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№888 учебника 2023-2025 (стр. 177):
Докажите, что квадрат любого целого числа на единицу больше произведения предыдущего и последующего целых чисел.
№888 учебника 2013-2022 (стр. 178):
Найдите значение выражения:
а) \(41^2 - 31^2\);
б) \(76^2 - 24^2\);
в) \(256^2 - 156^2\);
г) \(0{,}783^2 - 0{,}217^2\);
д) \(\displaystyle \frac{26^2 - 12^2}{54^2 - 16^2}\);
е) \(\displaystyle \frac{63^2 - 27^2}{83^2 - 79^2}\).
№888 учебника 2023-2025 (стр. 177):
Вспомните:
№888 учебника 2013-2022 (стр. 178):
Вспомните:
№888 учебника 2023-2025 (стр. 177):
Пусть \(x\) - произвольное целое число. Тогда предыдущее целое число \(x-1\), а последующее \(x+1\).
Составим уравнение:
\(x^2-(x-1)(x+1)=1\).
\(x^2-(x^2-1)=1\).
\(x^2-x^2+1=1\).
\(1 = 1\) - верно.
Что и требовалось доказать.
Пояснения:
Использованные правила:
1) \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.
2) Раскрытие скобок: если перед скобками стоит знак минус, то при их раскрытии нужно поменять все знаки в скобках на противоположные:
\(a - (b + c) = a - b - c\).
3) Сумма противоположных членов равна нулю.
Ввели обозначения и согласно условию составили уравнение. Сначала в полученном уравнении применили формулу произведения разности двух выражений и их суммы, затем раскрыли скобки, сменив все знаки в скобках, сократили противоположные члены, и получили верное числовое равенство, а это говорит о том, что квадрат любого целого числа на единицу больше произведения предыдущего и последующего целых чисел.
№888 учебника 2013-2022 (стр. 178):
а) \( 41^2 - 31^2 = (41 - 31)(41 + 31) =\)
\(=10 \cdot 72 = 720. \)
б) \( 76^2 - 24^2 = (76 - 24)(76 + 24) =\)
\(=52 \cdot 100 = 5200. \)
в) \( 256^2 - 156^2 = (256 - 156)(256 + 156) =\)
\(=100 \cdot 412 = 41200. \)
г) \( 0{,}783^2 - 0{,}217^2 =\)
\(=(0{,}783 - 0{,}217)(0{,}783 + 0{,}217) =\)
\(=0{,}566 \cdot 1 = 0{,}566. \)
д) \( \frac{26^2 - 12^2}{54^2 - 16^2} =\frac{(26 - 12)(26 + 12)}{(54 - 16)(54 + 16)} =\)
\(=\frac{^1\cancel{14} \cdot \cancel{38}^1}{_1\cancel{38} \cdot \cancel{70}_5} = \frac{1}{5} = 0,2 \)
е) \( \frac{63^2 - 27^2}{83^2 - 79^2} = \frac{(63 - 27)(63 + 27)}{(83 - 79)(83 + 79)} =\)
\(=\frac{^{9}\cancel{36} \cdot \cancel{90}^{45}}{_1\cancel{4} \cdot \cancel{162}_{81}} = \frac{^1\cancel{9}\cdot45}{\cancel{81}_9}= \frac{45}{9} = 5. \)
Пояснения:
Использованная формула:
\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). \)
Во всех пунктах применили формулу разности квадратов для замены разности квадратов на произведение разности и суммы.
В пунктах д) и е) сократили полученные дроби там, где это возможно.
Вернуться к содержанию учебника