Упражнение 889 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((x-2)(x+2)-x(x+5)=\)

\(=(x^2-4)-(x^2+5x)=\)

\(=\cancel{x^2}-4-\cancel{x^2}-5x=\)

\(=-5x-4\).

б) \(m(m-4)+(3-m)(3+m)=\)

\(=m^2-4m + (9-m^2)=\)

\(=\cancel{m^2} - 4m+9-\cancel{m^2}=-4m+9\).

в) \((4x-a)(4x+a)+2x(x-a)=\)

\(=16x^2-a^2 + 2x^2-2ax=\)

\(=18x^2-2ax-a^2\).

г) \(2a(a+b)-(2a+b)(2a-b)=\)

\(=2a^2+2ab-(4a^2-b^2)=\)

\(=2a^2+2ab-4a^2+b^2=\)

\(=-2a^2+2ab+b^2\).

д) \((5a-3c)(5a+3c)-(7c-a)(7c+a)=\)

\(=25a^2-9c^2-(49c^2-a^2)=\)

\(=25a^2-9c^2-49c^2+a^2=\)

\(=26a^2-58c^2\).

е) \((4b+10c)(10c-4b)+(-5c+2b)(5c+2b)=\)

\(=(10c+4b)(10c-4b)+(2b-5c)(2b+5c)=\)

\(=100c^2-16b^2+4b^2-25c^2=\)

\(=75c^2-12b^2\).

ж) \((3x-4y)^2-(3x-4y)(3x+4y)=\)

\(=9x^2-24xy+16y^2-(9x^2-16y^2)=\)

\(=\cancel{9x^2}-24xy+16y^2-\cancel{9x^2}+16y^2=\)

\(=32y^2-24xy\).

з) \((2a+6b)(6b-2a)-(2a+6b)^2=\)

\(=36b^2-4a^2-(4a^2+24ab+36b^2)=\)

\(=\cancel{36b^2}-4a^2-4a^2-24ab-\cancel{36b^2}=\)

\(=-8a^2-24ab\).

Пояснения:

Использованные приемы и формулы:

1) \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

2) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений.

3) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

4)  При раскрытии формул, использовали свойство степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

5) Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c) = ab+ac\).

6) Раскрытие скобок: если перед скобками стоит знак минус, то при их раскрытии нужно поменять все знаки в скобках на противоположные:

\(a - (b + c) = a - b - c\).

7) Приведение подобных членов: складываем (вычитаем) коэффициенты у одночленов, имеющих одинаковую буквенную часть:

\(ax + bx = (a + b)x\).

В пунктах а) - г) применили формулу произведения разности двух выражений и их суммы и правило умножения одночлена на многочлен, затем раскрыли скобки, учитывая знаки, стоящие перед ними, и привели подобные слагаемые.

В пунктах д) и е) дважды применили формулу произведения разности двух выражений и их суммы, учитывая переместительное свойство сложения рациональных чисел, затем раскрыли скобки, учитывая знаки, стоящие перед ними, и привели подобные слагаемые.

В пункте ж) применили формулу квадрата разности и формулу произведения разности двух выражений и их суммы, затем раскрыли скобки, учитывая знаки, стоящие перед ними, и привели подобные слагаемые.

В пункте з) применили формулу произведения разности двух выражений и их суммы и формулу квадрата суммы, затем раскрыли скобки, учитывая знаки, стоящие перед ними, и привели подобные слагаемые.

а) \( x^4 - 9 = (x^2)^2 - 3^2=\)

\(=(x^2 - 3)(x^2 + 3) \)

б) \( 25 - n^6 = 5^2 - (n^3)^2 =\)

\(=(5 - n^3)(5 + n^3) \)

в) \( m^8 - a^2 = (m^4)^2 - a^2 =\)

\(=(m^4 - a)(m^4 + a) \)

г) \( y^2 - p^4 = y^2 - (p^2)^2 =\)

\(=(y - p^2)(y + p^2) \)

д) \( c^6 - d^6 = (c^3)^2 - (d^3)^2 =\)

\(=(c^3 - d^3)(c^3 + d^3)\)

е) \( x^6 - a^4 = (x^3)^2 - (a^2)^2 =\)

\(=(x^3 - a^2)(x^3 + a^2) \)

ж) \( b^4 - y^{10} = (b^2)^2 - (y^5)^2 = \)

\(=(b^2 - y^5)(b^2 + y^5) \)

з) \( m^8 - n^6 = (m^4)^2 - (n^3)^2 =\)

\(=(m^4 - n^3)(m^4 + n^3) \)

и) \( a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2=\)

\(=(a^2 - b^2) (a^2 + b^2)=\)

\(=(a - b) (a + b) (a^2 + b^2)=\)

к) \( c^8 - d^8 = (c^4)^2 - (d^4)^2 = \)

\(=(c^4 - d^4)(c^4 + d^4) =\)

\(=((c^2)^2 - (d^2)^2)(c^4 + d^4) =\)

\(=(c^2 - d^2)(c^2 + d^2)(c^4 + d^4) =\)

\(=(c - d)(c + d)(c^2 + d^2)(c^4 + d^4) \)

л) \( a^4 - 16 = (a^2)^2 - 4^2 =\)

\(=(a^2 - 4)(a^2 + 4) =\)

\(=(a^2 - 2^2)(a^2 + 4) = \)

\(=(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4) \)

м) \( 81 - b^4 = 9^2 - (b^2)^2 =\)

\(=(9 - b^2)(9 + b^2) =\)

\(=(3^2 - b^2)(9 + b^2) =\)

\(=(3 - b)(3 + b)(9 + b^2) \)

Пояснения:

Использованная формула:

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). \)

При этом учитываем свойство степени:

\((a^m)^n = a^{m\cdot{n}}\)

В пунктах и) - м) формулу разности квадратов применяем дважды для полного разложения на множители.