Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№890 учебника 2023-2025 (стр. 178):
(Для работы в парах.) Докажите, что сумма произведения трёх последовательных целых чисел и среднего из них равна кубу среднего числа.
1) Проверьте утверждение на примере чисел 19, 20, 21.
2) Составьте выражение, обозначив через \(p\) одно из этих чисел, и выполните преобразование составленного выражения. Одному учащемуся рекомендуем обозначить через \(p\) наименьшее из чисел, а другому — среднее из чисел.
3) Проверьте друг у друга правильность преобразований и сравните их сложность.
№890 учебника 2013-2022 (стр. 178):
Решите уравнение:
а) \(x^2 - 16 = 0\);
б) \(y^2 - 81 = 0\);
в) \(\tfrac{1}{9} - x^2 = 0\);
г) \(a^2 - 0,25 = 0\);
д) \(b^2 + 36 = 0\);
е) \(x^2 - 1 = 0\);
ж) \(4x^2 - 9 = 0\);
з) \(25x^2 - 16 = 0\);
и) \(81x^2 + 4 = 0\).
№890 учебника 2023-2025 (стр. 178):
Вспомните:
№890 учебника 2013-2022 (стр. 178):
Вспомните:
№890 учебника 2023-2025 (стр. 178):
1) \((19\cdot20\cdot21)+20=\)
\(=7980+20=8000\)
\(20^3=8000.\)
2) Пусть \(p\) — наименьшее число, тогда числа \(p,\;p+1,\;p+2\).
\(p\cdot(p+1)\cdot(p+2)+(p+1)=\)
\(=(p^2+p)(p+2) + p + 1=\)
\(=p^3+2p^2+p^2+2p+p+1=\)
\(=p^3+3p^2+3p+1=(p+1)^3.\)
Пусть \(p\) — среднее число, тогда числа \(p-1,\;p,\;p+1\).
\((p-1)\,p\,(p+1)+p=\)
\(=p(p-1)(p+1)+p=\)
\(=p(p^2-1) + p=\)
\(=p^3 - \cancel{p} + \cancel{p}=p^3.\)
3) В обоих случаях получаем куб среднего: \((p+1)^3\) или \(p^3\).
Пояснения:
Использованные приемы и правила:
1. \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) - произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.
2. \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\) - куб суммы двух выражений.
3. Умножение одночлена на многочлен:
\(a(b+c) = ab + ac\).
4. Умножение многочлена на многочлен:
\((a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd\).
5. Приведение подобных членов: складываем (вычитаем) коэффициенты у одночленов, имеющих одинаковую буквенную часть:
\(ax + bx = (a + b)x\).
В том случае, когда \(p\) — наименьшее число, тогда три последовательных целых числа \(p,\;p+1,\;p+2\), при выполнении преобразований используем правила умножения одночлена на многочлен и многочлена на многочлен, затем приводим подобные и получаем формулу куба суммы двух выражений, то есть куб среднего числа.
В том случае, когда \(p\) — среднее число, тогда три последовательных целых числа \(p-1,\;p,\;p+1\), при выполнении преобразований сначала используем формулу произведения разности двух выражений и их суммы, затем правило умножения одночлена на многочлен и сокращаем противоположные члены, так как их сумма равна нулю, получаем куб среднего числа.
№890 учебника 2013-2022 (стр. 178):
а) \( x^2 - 16 = 0\)
\( x^2 - 4^2 = 0\)
\((x - 4)(x + 4) = 0\)
\(x - 4 = 0 \) или \( x + 4 = 0\)
\(x = 4\) \(x = -4 \)
Ответ: \(x = 4\) или \(x = -4 \).
б) \( y^2 - 81 = 0\)
\( y^2 - 9^2 = 0\)
\((y - 9)(y + 9) = 0 \)
\(y = 9\) или \(y = -9 \)
Ответ: \(x = 9\) или \(x = -9 \).
в) \( \tfrac{1}{9} - x^2 =0\)
\( (\tfrac{1}{3})^2 - x^2 =0\)
\((\tfrac{1}{3} - x)(\tfrac{1}{3} + x) =0\)
\(\tfrac{1}{3} - x =0\) или \(\tfrac{1}{3} + x =0\)
\(x = \tfrac{1}{3}\) \(x = -\tfrac{1}{3} \)
Ответ: \(x = \tfrac{1}{3}\) или \(x = -\tfrac{1}{3} \).
г) \( a^2 - 0,25 = 0\)
\(a^2 - 0,5^2 =0\)
\((a - 0,5)(a + 0,5) = 0 \)
\(a - 0,5 = 0 \) или \(a + 0,5 = 0 \)
\( a = 0,5\) \(a = -0,5 \)
Ответ: \( a = 0,5\) или \(a = -0,5. \)
д) \( b^2 + 36 = 0\)
\( b^2 = -36\)
Ответ: корней нет.
е) \( x^2 - 1 =0\)
\((x - 1)(x + 1) = 0\)
\((x - 1)=0\) или \((x + 1) = 0\)
\( x = 1\) \(x = -1\)
Ответ: \( x = 1\) или \(x = -1\).
ж) \( 4x^2 - 9 =0\)
\((2x)^2 - 3^2 = 0\)
\((2x - 3)(2x + 3) = 0\)
\(2x - 3=0\) или \(2x + 3 = 0\)
\(2x = 3\) \(2x = -3\)
\(x = \tfrac{3}{2}\) \(x = -\tfrac{3}{2} \)
\(x = 1,5\) \(x = -1,5 \)
Ответ: \(x = 1,5\) или \(x = -1,5 \).
з) \( 25x^2 - 16 =0\)
\( (5x)^2 - 4^2 =0\)
\((5x - 4)(5x + 4) = 0\)
\(5x - 4=0\) или \(5x + 4 = 0\)
\(5x = 4\) \(5x = - 4\)
\( x = \tfrac{4}{5}\) \(x = -\tfrac{4}{5} \)
\( x = 0,8\) \(x = -0,8 \)
Ответ: \( x = 0,8\) или \(x = -0,8 \).
и) \( 81x^2 + 4 = 0\)
\( 81x^2 = -4\)
\( x^2 = -\frac{4}{81}\)
Ответ: корней нет.
Пояснения:
Использованная приемы и формулы:
1. \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разность квадратов двух выражений.
2. Свойство степени:
\(a^nb^n=(ab)^n\).
3. Корни уравнения не изменяются, если слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.
4. Линейное уравнение вида \(ax=b\) при \(a\neq0\) имеет единственный корень: \(x = \frac{b}{a}\).
5. Квадрат любого числа является неотрицательным числом, то есть \(x^2\geqslant0\).
Во всех пунктах, кроме д) и и), левую часть уравнения разложили на два множителя по формуле разности квадратов. Затем, учитывая то, что произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, приравняли каждый множитель к нулю и нашли из полученных линейных уравнений корни исходного уравнения.
В пунктах д) и и) левые части не раскладываются на множители и из каждого из них получается, что квадрат числа равен отрицательному числу, чего быть не может, поэтому эти уравнения не имеют корней.
Вернуться к содержанию учебника