Упражнение 892 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 178

а) \(8m(1+2m) - (4m+3)(4m-3)=2m\)

\(8m+16m^2-(16m^2-9)=2m\)

\(8m+\cancel{16m^2}-\cancel{16m^2}+9=2m\)

\(8m+9=2m\)

\(8m-2m=-9\)

\(6m=-9\)

\(m=-\frac{9}{6}\)

\(m=-\frac{3}{2}\)

\(m=-1,5\)

Ответ: \(m=-1,5\).

б) \(x-3x(1-12x)=11-(5-6x)(6x+5)\)

\(x-3x+36x^2 = 11- (25 - 36x^2\)

\(-2x+36x^2 = 11- 25 + 36x^2\)

\(-2x+36x^2=36x^2-14\)

\(-2x + \cancel{36x^2} - \cancel{36x^2} = -14\)

\(-2x=-14\)

\(x=\frac{14}{2}\)

\(x=7\)

Ответ: \(x=7\).

Пояснения:

Использованные приемы и формулы:

1) \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

2) Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c) = ab+ac\).

3) Раскрытие скобок: если перед скобками стоит знак минус, то при их раскрытии нужно поменять все знаки в скобках на противоположные:

\(a - (b + c) = a - b - c\).

4) При раскрытии формул, использовали свойство степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

5) Правило сложения подобных членов: складываем коэффициенты при одинаковых степенях переменных:

\(ax + bx=(a+b)x\).

6) Корни уравнения не изменяются если слагаемые перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом их знаки.

7) Линейное уравнение вида \(ax=b\) при \(a\neq0\) имеет единственный корень: \(x = \frac{b}{a}\).

В пункте а) сначала раскрыты скобки в обоих произведениях: в первом, умножив одночлен на многочлен, во втором по формуле разности квадратов. Затем выполнено упрощение выражения, привели подобные члены и решили полученное линейное уравнение.

В пункте б) сначала раскрыты скобки умножением одночлена на многочлен, затем справа произведение разности и суммы двух выражений преобразовано по формуле. После приведения подобных членов получили линейное уравнение и решили его.

а) \( c^6 - 9x^4 = (c^3)^2 - (3x^2)^2 =\)

\(=(c^3 - 3x^2)(c^3 + 3x^2). \)

б) \( 100y^2 - a^8 = (10y)^2 - (a^4)^2 =\)

\(=(10y - a^4)(10y + a^4). \)

в) \( 4x^4 - 25b^2 = (2x^2)^2 - (5b)^2 = \)

\(=(2x^2 - 5b)(2x^2 + 5b). \)

г) \( a^4b^4 - 1 = (a^2b^2)^2 - 1^2 =\)

\(=(a^2b^2 - 1)(a^2b^2 + 1) = \)

\(=((ab)^2 - 1^2)(a^2b^2 + 1) = \)

\(=(ab - 1)(ab + 1)(a^2b^2 + 1). \)

д) \( 0{,}36 - x^4y^4 = (0{,}6)^2 - (x^2y^2)^2 =\)

\(=(0{,}6 - x^2y^2)(0{,}6 + x^2y^2). \)

е) \( 4a^2 - b^6c^2 = (2a)^2 - (b^3c)^2 =\)

\(=(2a - b^3c)(2a + b^3c). \)

ж) \( 16m^2y^2 - 9n^4 = \)

\(=(4my)^2 - (3n^2)^2 =\)

\(=(4my - 3n^2)(4my + 3n^2). \)

з) \( 9x^8y^4 - 100z^2 = \)

\(=(3x^4y^2)^2 - (10z)^2 =\)

\(=(3x^4y^2 - 10z)(3x^4y^2 + 10z). \)

и) \( 0{,}81p^6m^4 - 0{,}01x^2 = \)

\(=(0{,}9p^3m^2)^2 - (0{,}1x)^2 =\)

\(=(0{,}9p^3m^2 - 0{,}1x)(0{,}9p^3m^2 + 0{,}1x). \)

Пояснения:

Использованная формула:

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разность квадратов двух выражений.

При этом учитываем свойства степени:

\(a^nb^n=(ab)^n\);

\((a^m)^n = a^{m\cdot{n}}\) .

В пункте г) формулу разности квадратов применяем дважды.