Упражнение 887 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((x - y)(x + y)(x^2 + y^2)=\)

\(=(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)=\)

\(=(x^2)^2 - (y^2)^2=x^4 - y^4\).

б) \((2a + b)(4a^2 + b^2)(2a - b)=\)

\(=(2a + b)(2a - b)(4a^2 + b^2)=\)

\(=((2a)^2 - b^2)(4a^2 + b^2)=\)

\(=(4a^2 - b^2)(4a^2 + b^2)=\)

\(=(4a^2)^2 - (b^2)^2=16a^4 - b^4\).

в) \((c^3 + b)(c^3 - b)(c^6 + b^2)=\)

\(=((c^3)^2 - b^2)(c^6 + b^2)=\)

\(=(c^6 - b^2)(c^6 + b^2)=\)

\(=(c^6)^2 - (b^2)^2=c^{12} - b^4\).

г) \((3m - 2)(3m + 2)+ 4=\)

\(=(3m)^2 - 2^2+ 4=\)

\(=9m^2 - 4 + 4=9m^2\).

д) \(25n^2 - (7 + 5n)(7 - 5n)=\)

\(=25n^2 - (7^2 - (5n)^2)=\)

\(=25n^2 - (49 - 25n^2)=\)

\(=25n^2 - 49 + 25n^2)=\)

\(=50n^2 - 49\).

е) \(6x^2 - (x - 0{,}5)(x + 0{,}5)=\)

\(6x^2 - (x^2 - 0{,}5^2)=\)

\(=6x^2 - (x^2 - 0{,}25)=\)

\(=6x^2 - x^2 + 0{,}25=5x^2 + 0{,}25\).

Пояснения:

Использованные правила:

1) \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

2) Раскрытие скобок: если перед скобками стоит знак минус, то при их раскрытии нужно поменять все знаки в скобках на противоположные:

\(a - (b + c) = a - b - c\).

3) Приведение подобных членов: складываем (вычитаем) коэффициенты у одночленов, имеющих одинаковую буквенную часть:

\(ax + bx = (a + b)x\).

5) Свойства степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n;\)

\((a^m)^n=a^{m\cdot{n}}\).

В пунктах а) - в) дважды применили формулу произведения разности двух выражений и их суммы, учитывая свойства степени.

В пунктах г) - е) - сначала применили формулу произведения разности двух выражений и их суммы, затем раскрыли скобки, учитывая знак, стоящий перед ними, и привели подобные слагаемые.

а) \( \frac{36}{13^2 - 11^2} =\)

\(=\frac{36}{(13 - 11)(13 + 11)} =\)

\(=\frac{\cancel{36}^3}{2 \cdot \cancel{24}_2} = \frac{3}{4}. \)

б) \( \frac{79^2 - 65^2}{420} = \)

\(=\frac{(79 - 65)(79 + 65)}{420} =\)

\(=\frac{\cancel{14}^1 \cdot 144}{\cancel{420}_{30}} = \frac{\cancel{144}^{48}}{\cancel{30}_{10}} = \frac{48}{10} = 4,8. \)

в) \( \frac{53^2 - 27^2}{79^2 - 51^2} = \)

\(=\frac{(53 - 27)(53 + 27)}{(79 - 51)(79 + 51)} =\)

\(=\frac{^1\cancel{26} \cdot \cancel{80}^{20}}{_7\cancel{28} \cdot \cancel{130}_5} = \frac{\cancel{20}^4}{7\cdot\cancel{5}_1} = \frac{4}{7}. \)

г) \( \frac{53^2 - 32^2}{61^2 - 44^2} =\)

\(=\frac{(53 - 32)(53 + 32)}{(61 - 44)(61 + 44)} =\)

\(=\frac{ ^1\cancel{21} \cdot \cancel{85}^5}{_1 \cancel{17} \cdot \cancel{105}_5} = \frac{5}{5} =1. \)

Пояснения:

Использованная формула:

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). \)

В каждом случае в числителе и/или в знаменателе применили формулу разности квадратов, чтобы получить произведение разности и суммы. После выполнили сложение и вычитание и сократили полученные дроби там, где это возможно.