Упражнение 907 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( m^2 - 25 = 0\)

\( m^2 - 5^2 = 0\)

\((m - 5)(m + 5) = 0\)

\((m - 5) = 0\) или \((m + 5) = 0\)

\( m = 5\)                    \(m = -5 \)

Ответ: \( m = 5\) или \(m = -5. \)

б) \( x^2 - 36 = 0\)

\( x^2 - 6^2 = 0\)

\((x - 6)(x + 6) = 0 \)

\((x - 6) = 0\) или \((x + 6) = 0 \)

\( x = 6\)                    \(x = -6 \)

Ответ: \( x = 6\) или \(x = -6. \)

в) \( 9x^2 - 4 = 0\)

\( (3x)^2 - 2^2 = 0\)

\((3x - 2)(3x + 2) = 0\)

\( 3x - 2 = 0 \) или \(3x + 2 = 0 \)

\( 3x = 2 \)                \(3x = -2 \)

\(x = \frac{2}{3}\)                \(  x = -\frac{2}{3} \)

Ответ: \(x = \frac{2}{3}\) или\(  x = -\frac{2}{3}.\)

г) \( 16x^2 - 49 =0\)

\( (4x)^2 - 7^2 =0\)

\((4x - 7)(4x + 7) = 0\)

\(4x - 7 = 0\) или \(4x + 7 = 0 \)

\(4x = 7\)                \(4x = -7 \)

\(x = \frac{7}{4}\)                  \(x = -\frac{7}{4} \)

\(x = 1\frac{3}{4}\)                 \(x = -1\frac{3}{4} \)

Ответ: \(x = 1\frac{3}{4}\) или \(x = -1\frac{3}{4}. \)

Пояснения:

Использованные приемы и формулы:

1. \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разность квадратов двух выражений.

2. Свойство степени:

\(a^nb^n=(ab)^n\).

3. Корни уравнения не изменяются, если слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.

4. Линейное уравнение вида \(ax=b\) при \(a\neq0\) имеет единственный корень: \(x = \frac{b}{a}\).

Во всех пунктах левую часть уравнения разложили на два множителя по формуле разности квадратов. Затем, учитывая то, что произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, приравняли каждый множитель к нулю и нашли из полученных линейных уравнений корни исходного уравнения.

а) \( 8x^3 - 1 = (2x)^3 - 1^3 =\)

\(=(2x - 1)\bigl((2x)^2 + 2x\cdot1 + 1^2\bigr) =\)

\(=(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1). \)

б) \( 1 + 27y^3 = 1^3 + (3y)^3 =\)

\(=(1 + 3y)\bigl(1^2 - 1\cdot3y + (3y)^2\bigr) = \)

\(=(1 + 3y)(1 - 3y + 9y^2). \)

в) \( 8 - \tfrac18a^3 = 2^3 - \bigl(\tfrac{1}{2}a\bigr)^3 =\)

\(=\Bigl(2 - \tfrac{1}{2}a\Bigr)\Bigl(2^2 + 2\cdot\tfrac{1}{2}a + \bigl(\tfrac{1}{2}a\bigr)^2\Bigr) =\)

\(=\Bigl(2 - \tfrac{1}{2}a\Bigr)\Bigl(4 + a + \tfrac{1}{4}a^2\Bigr). \)

г) \( \tfrac{1}{64}m^3 + 1000 = \Bigl(\tfrac{1}{4}m\Bigr)^3 + 10^3 = \)

\(=\Bigl(\tfrac{1}{4}m + 10\Bigr)\Bigl(\bigl(\tfrac{1}{4}m\bigr)^2 - 10\cdot\tfrac{1}{4}m + 10^2\Bigr) = \)

\(=\Bigl(\tfrac{1}{4}m + 10\Bigr)\Bigl(\tfrac{1}{16}m^2 - 2,5m + 100\Bigr). \)

д) \( 125a^3 - 64b^3 = (5a)^3 - (4b)^3 =\)

\(=(5a - 4b)\bigl((5a)^2 + 5a\cdot4b + (4b)^2\bigr) =\)

\(=(5a - 4b)(25a^2 + 20ab + 16b^2). \)

е) \( \tfrac{1}{27}x^3 + \tfrac{1}{125}y^3 = \Bigl(\tfrac{1}{3}x\Bigr)^3 + \Bigl(\tfrac{1}{5}y\Bigr)^3 =\)

\(=\Bigl(\tfrac{1}{3}x + \tfrac{1}{5}y\Bigr)\Bigl(\bigl(\tfrac{1}{3}x\bigr)^2 - \tfrac{1}{3}x\cdot\tfrac{1}{5}y + \bigl(\tfrac{1}{5}y\bigr)^2\Bigr) =\)

\(=\Bigl(\tfrac{1}{3}x + \tfrac{1}{5}y\Bigr)\Bigl(\tfrac{1}{9}x^2 - \tfrac{1}{15}xy + \tfrac{1}{25}y^2\Bigr). \)

Пояснения:

Использованные формулы:

— Сумма кубов:

\(\;a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\).

— Разность кубов:

\(\;a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\).

При работе с формулами учитывали свойство степени:

\(a^nb^n=(ab)^n\).