Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№916 учебника 2023-2025 (стр. 181):
(Задача-исследование.) Верно ли утверждение: если \(p\) — простое число, большее трёх, то значение выражения \(\;p^2-1\;\) кратно 12?
1) Проверьте правильность утверждения на конкретных примерах.
2) Разложите многочлен \(\;p^2-1\;\) на множители. Обсудите, почему полученное произведение кратно 4.
3) Обсудите, почему полученное произведение делится на 3.
4) Сделайте вывод.
№916 учебника 2013-2022 (стр. 182):
Докажите, что равенство не является тождеством:
а) \(x^4 + 4 = (x + 2)^2\);
б) \((x - 2)(2 + x) = 4 - x^2\).
№916 учебника 2023-2025 (стр. 181):
Вспомните:
№916 учебника 2013-2022 (стр. 182):
Вспомните:
№916 учебника 2023-2025 (стр. 181):
\(p\) - простое число, \(p>3\).
\(p^2-1\) - кратно 12?
1) Примеры:
Если \(p=5\), то
\(5^2-1 = 25 - 1=24,\)
\(24:12=2.\)
Если \(p=7\), то
\(7^2-1 = 49 - 1=48,\)
\(48:12=4.\)
Если \(p=11\), то
\(11^2-1=121 - 1 =120,\)
\(120:12=10.\)
Во всех случаях \(\,p^2-1\) делится на 12.
2) \( p^2-1 = (p-1)(p+1) \)
\(p>3\), значит, (\p\) - нечётное число, тогда числа \(p-1\) и \(p+1\) оба чётные и каждое из них делится на 2, значит, их произведение делится на 4.
3) Три последовательных числа \(p-1\), \(p\), \(p+1\) включают одно число, которое делится на 3. Поскольку \(p\) — простое большее 3, оно не делится на 3, значит либо \(p-1\), либо \(p+1\) делится на 3. Это число входит в произведение
\((p-1)(p+1)\), поэтому произведение делится на 3.
4) Вывод:
Выражение \((p-1)(p+1)\) делится на 4 и на 3, значит, оно кратно \(4\cdot3=12\). Получается, для любого простого числа \(p>3\) выражение \(p^2-1\) делится на 12.
Пояснения:
— В пункте 2 использована формула разности квадратов: разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.
— В пункте 3 опора на свойство трёх последовательных чисел: одно из них обязательно кратно 3.
№916 учебника 2013-2022 (стр. 182):
а) \(x^4 + 4 = (x + 2)^2\)
\( x^4 + 4 = x^2 + 4x + 4 \) - не является тождеством.
б) \((x - 2)(2 + x) = 4 - x^2\)
\( x^2 - 4 = 4 - x^2 \) - не является тождеством.
Пояснения:
Использованные правила и формулы:
1) \( a^2 - b^2=(a - b)(a + b) \) - разность квадратов двух выражений.
2) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений.
2) Определение тождества многочленов: два многочлена тождественны, если равны при всех значениях переменной, в том числе совпадают степени и все коэффициенты.
Часть а): левая часть — многочлен 4-й степени, правая — 2-й степени. Такие многочлены не могут быть равны при всех \(x\), значит равенство не тождественное.
Часть б): после раскрытия скобок получаются многочлены \( x^2 - 4 \) и \( -x^2 + 4. \) Коэффициенты при \(x^2\) различны, значит равенство выполняется лишь при отдельных значениях \(x\), но не для всех сразу, поэтому равенство не тождественное.
Вернуться к содержанию учебника