Упражнение 921 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( x^3 + y^3 = (x + y)\bigl(x^2 - xy + y^2\bigr). \)

б) \( m^3 - n^3 = (m - n)\bigl(m^2 + mn + n^2\bigr). \)

в) \( 8 + a^3 = 2^3 + a^3 =\)

\(=(2 + a)\bigl(2^2 - 2a + a^2\bigr) =\)

\(=(a + 2)\bigl(4 - 2a + a^2\bigr). \)

г) \( 27 - y^3 = 3^3 - y^3 =\)

\(=(3 - y)\bigl(3^2 + 3y + y^2\bigr) =\)

\(=(3 - y)\bigl(9 + 3y + y^2\bigr). \)

д) \( t^3 + 1 = t^3 + 1^3 =\)

\(=(t + 1)\bigl(t^2 - t + 1\bigr). \)

е) \( 1 - c^3 = 1^3 - c^3 =\)

\(=(1 - c)\bigl(1 + c + c^2\bigr). \)

Пояснения:

Использованные формулы:

— Сумма кубов:

\(\;a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\).

— Разность кубов:

\(\;a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\).

а) \((3m - a)(a + 3m) - (2a + m)(3a - m)=\)

\(= (3m - a)(3m + a) - (6a^2 - 2am + 3am -m^2)=\)

\(=9m^2 - a^2 - 6a^2 + 2am - 3am + m^2=\)

\(=10m^2 - 7a^2 - am.\)

б) \((x - 4y)(x + 3y) + (x - 3y)(3y + x) =\)

\( = x^2 + 3xy - 4xy -12y + (x - 3y)(x + 3y) =\)

\(=x^2 - xy - 12y^2 + x^2 - 9y^2=\)

\(=2x^2 -xy-21y^2\).

Пояснения:

Использованные правила:

– Умножение многочлена на многочлен: каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго многочлена.

– Сложение и вычитание многочленов: у многочлена, который вычитают, при раскрытии скобок меняют все знаки на противоположные.

– Произведение суммы и разности двух выражений равно разности квадратов этих выражений:

\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\).

– Свойство степени:

\(a^ma^n=a^{m+n}\).

– Приведение подобных слагаемых:

\(ax + bx = (a + b)x\).

В пункте а) мы применили формулу к первому произведению, получив \(9m^2 - a^2\). Второй множитель раскрыли умножением многочлена на многочлен и собрали подобные члены.

В пункте б) применили формулу ко второму произведению и получили \(x^2 - 9y^2\). Первое произведение раскрыли умножением многочлена на многочлен, затем сложили с результатом разности квадратов и привели подобные члены.