Упражнение 915 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Обозначим ширину прямоугольника через \(x\) (см). Тогда длина прямоугольника равна \(x + 5\) (см). Площадь квадрата на стороне длины: \((x + 5)^2\). Площадь квадрата на стороне ширины: \(x^2\). Известно, что площадь одного квадрата на 95 см² больше площади другого.

1) Составим уравнение:

\( (x + 5)^2 - x^2 = 95 \)

\( \cancel{x^2} + 10x + 25 - \cancel{x^2} = 95\)

\(10x + 25 = 95\)

\(10x = 95 - 25\)

\(10x = 70\)

\(x = \frac{70}{10}\)

 \( x = 7\) (см) - ширина прямоугольника.

2) \(7 + 5 = 12\) (см) - длина прямоугольника.

3) \(2\cdot(7 + 12) = 2 \cdot 19 = 38\) (см) - периметр прямоугольника.

Ответ: 38 см.

Пояснения:

1. Обозначения и формулы:

— Ширина прямоугольника: \(x\).

    Длина: \(x + 5\).

— Площадь квадрата со стороной \(a\) равна:  \(a^2\).

— Периметр прямоугольника со сторонами \(a\) и \(b\) равна: \(2(a + b)\).

2. Составление уравнения:

По условию разность площадей квадратов равна 95 см², значит

\(\,(x+5)^2 - x^2 = 95\).

3. Решение уравнения:

Раскрыли скобки по формуле квадрата суммы \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), сократили \(x^2\), получили линейное уравнение \(10x + 25 = 95\). Перенесли 25 вправо c противоположным знаком, получили \(10x = 70\), откуда \(x=7\).

4. Нахождение периметра:

Подставили \(x=7\) и \(x+5=12\) в формулу периметра:

\(2\cdot(7+12)=38\) см.

а) \((11c^2 + a^3)(-a^3 + 11c^2) =\)

\(=(11c^2 + a^3)(11c^2 - a^3) =\)

\(=121c^4 - a^6\).

б) \((0,8x + y^4)(-0,8x - y^4) = \)

\(=-(0,8x + y^4)(0,8x + y^4) = \)

\(=-(0,8x + y^4)^2\)=

\(=-((0,8x)^2 + 2\cdot0,8x\cdot{y} + (y^4)^2)=\)

\(=-(0,64x^2 + 1,6x\,y^4 + y^8)=\)

\(=-0,64x^2 - 1,6x\,y^4 - y^8\).

в) \((0,3c - 0,2d)(0,2d - 0,3c) =\)

\(=-(0,3c - 0,2d)(0,3c - 0,2d) =\)

\(=-(0,3c - 0,2d)^2=\)

\(=-((0,3c)^2 - 2\cdot0,3c\cdot0,2d + (0,2d)^2)=\)

\(=-(0,09c^2 - 0,12c\,d + 0,04d^2)=\).

\(=-0,09c^2 + 0,12c\,d - 0,04d^2\).

г) \((6x^3 - 4x)(-6x^3 - 4x) =\)

\(=-(6x^3 - 4x)(6x^3 + 4x) =\)

\(=-((6x^3)^2 - (4x)^2)=\)

\(=-(36x^6 - 16x^2) =-36x^6 + 16x^2\).

Пояснения:

Использованные формулы:

1) \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

3) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений.

При этом учитываем свойства степени:

\(a^nb^n=(ab)^n\);

\((a^m)^n = a^{m\cdot{n}}\).

В пункте а) во второй скобке поменяли слагаемые местами и произведение разности двух выражений и их суммы заменили разностью квадратов этих выражений.

В пункте б) из второй скобки вынесли знак минус за скобки, изменив все знаки слагаемых в этой скобке на противоположные, и применили формулу квадрата суммы двух выражений.

В пункте в) из второй скобки вынесли знак минус за скобки, изменив все знаки слагаемых в этой скобке на противоположные, и применили формулу квадрата разности двух выражений.

В пункте г) из второй скобки вынесли знак минус за скобки, изменив все знаки слагаемых в этой скобке на противоположные, и применили формулу квадрата разности двух выражений.