Упражнение 939 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\((2n+1)(n+5) -2(n+3)(n-3) - (5n+13) =\)

\(=2n^2 + 10n + n + 5 - 2(n^2 - 9) - 5n -13 =\)

\(= \cancel{2n^2} + 11n + 5 - \cancel{2n^2} + 18 - 5n -13 =\)

\(= 6n + 10 = 6n + 6 + 4 = 6(n+1) + 4 \) - не делится на 6 ни при каком значении \(n\).

Пояснения:

Использованные правила:

– Умножение многочлена на многочлен: каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго многочлена.

– Произведение суммы и разности двух выражений равно разности квадратов этих выражений:

\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\).

– Сложение и вычитание многочленов: у многочлена, который вычитают, при раскрытии скобок меняют все знаки на противоположные.

– Приведение подобных слагаемых:

\(ax + bx = (a + b)x\).

— Критерий делимости: если число \(a\) делится нацело на число \(k\), а число \(и\) не делится нацело на число \(k\), то сумма \(a+b\) не делится нацело на число \(k\).

В каждом шаге мы последовательно упрощали исходное выражение, сначала раскрывая скобки, затем приводя подобные члены, и, наконец, анализировали остаток при делении на 6. Число \(10\) при делении на 6 даёт остаток \(4\), который не зависит от \(n\), поэтому ни при каком целом \(n\) выражение не делится на 6.

а) \( 3x^2 + 6xy + 3y^2 = \)

\(=3\bigl(x^2 + 2xy + y^2\bigr) = \)

\(=3(x + y)^2. \)

б) \( -m^2 + 2m - 1 =\)

\(=-\bigl(m^2 - 2m + 1\bigr) = -(m - 1)^2. \)

в) \( -4x - 4 - x^2 = \)

\(=-(x^2 + 4x + 4) =\)

\(=-(x + 2)^2. \)

г) \( 6p^2 + 24q^2 + 24pq = \)

\(=6\bigl(p^2 + 4q^2 + 4pq\bigr) =\)

\(=6\bigl(p^2 + 4pq + 4q^2\bigr) =\)

\(=6(p + 2q)^2. \)

д) \( 45x + 30ax + 5a^2x =\)

\(=5x\bigl(9 + 6a + a^2\bigr) =\)

\(=5x(a^2 + 6a + 9) =\)

\(=5x(a + 3)^2. \)

е) \( 18cx^2 - 24cx + 8c = \)

\(=2c\bigl(9x^2 - 12x + 4\bigr) =\)

\(=2c\bigl((3x)^2 - 2\cdot3x\cdot2 + 2^2\bigr) =\)

\(=2c(3x - 2)^2. \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

— Вынесение общего множителя за скобки: если у многочлена каждый член содержит общий множитель \(x\), то

\(ax + bx = (a+b)x.\)

— Формула квадрата двучлена:

\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\) - квадрат суммы;

\(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\) - квадрат разности.

В каждом пункте сначала выделяли наибольший общий множитель (например, \(3\) в пункте а), \(-1\) в пункте б), \(-1\) в пункте в), \(6\) в пункте г), \(5x\) в пункте д), \(2c\) в пункте е)), а затем полученную квадратную форму распознавали как квадрат соответствующего двучлена.