Упражнение 944 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((y - 3)(y^2 + 9)(y + 3) - (2y^2 - y)^2 - 19=\)

\(=  (y^2 - 9)(y^2 + 9) -((2y^2)^2-2\cdot2y^2\cdot{y} + y^2) - 19 =\)

\(= y^4 - 81 - (4y^4 - 4y^3 + y^2) - 19=\)

\(= y^4 - 81 - 4y^4 + 4y^3 - y^2 - 19=\)

\( = -3y^4 + 4y^3 - y^2 - 100. \)

б) \((1 - a)(1 - a^2) + (1 + a)(1 + a^2) - 2a(1 + a)(a - 1)=\)

\(= 1 - a^2 - a + a^3 + (1 + a^2 + a + a^3) -2a(a^2 - 1)=\)

\(= 1 - \cancel{a^2} - \cancel{a} + \cancel{a^3} + 1 + \cancel{a^2} + \cancel{a} + \cancel{a^3} - \cancel{2a^3} + 2a=\)

\(=2a + 2.\)

Пояснения:

Использованные правила и формулы:

1) \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - разность квадратов двух выражений.

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

3) Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b + c) = ab + ac\).

4) Умножение многочлена на многочлен: каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго многочлена:

\((a+b)(c+d)=ac + ad + bc + bd\).

5) Свойства степени:

\((ab)^n=a^nb^n;\)

\((a^m)^n=a^{m\cdot{n}}.\)

6) Вычитание многочленов: у многочлена, который вычитают, при раскрытии скобок меняют все знаки на противоположные.

7) Приведение подобных слагаемых:

\(ax + bx = (a + b)x\).

В каждом выражении раскрыли скобки, учитывая правила, указанные выше, привели подобные слагаемые (вычеркнули те слагаемые, сумма которых равна нулю) и получили упрощенное выражение.

а) \( x^2 - 2xc + c^2 - d^2 =\)

\( (x^2 - 2xc + c^2) - d^2 =\)

\(=(x - c)^2 - d^2 =\)

\(=\bigl((x - c) - d\bigr)\,\bigl((x - c) + d\bigr) =\)

\(=(x - c - d)\,(x - c + d). \)

б) \( c^2 + 2c + 1 - a^2 = \)

\(= (c^2 + 2c + 1) - a^2 = \)

\(=(c + 1)^2 - a^2 =\)

\(=\bigl((c + 1) - a\bigr)\,\bigl((c + 1) + a\bigr) =\)

\(=(c + 1 - a)\,(c + 1 + a). \)

в) \( p^2 - x^2 + 6x - 9 =\)

\(=p^2 - \bigl(x^2 - 6x + 9\bigr)= \)

 \(= p^2 - (x - 3)^2 =\)

\(=\bigl(p - (x - 3)\bigr)\,\bigl(p + (x - 3)\bigr) =\)

\(=(p - x + 3)\,(p + x - 3). \)

г) \( x^2 - a^2 - 10a - 25 =\)

\(=x^2 - (a^2 + 10a + 25) =\)

\(=x^2 - (a + 5)^2 =\)

\(=\bigl(x - (a + 5)\bigr)\,\bigl(x + (a + 5)\bigr) =\)

\(=(x - a - 5)\,(x + a + 5). \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

— Формула квадрата двучлена:

\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\) - квадрат суммы;

\(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\) - квадрат разности.

— Формула разности квадратов:

\( a^2 - b^2 = (a - b)\,(a + b). \)

— Перегруппировка: перестановка и сборка слагаемых так, чтобы внутри скобок образовался полный квадрат или явная разность квадратов. Это упрощает дальнейшее разложение.

— Раскрытие скобок: если перед скобками стоит знак "минус", то при их раскрытии знаки всех слагаемых нужно поменять на противоположные:

\(-(a+b)=-a-b\).

В каждом пункте мы сначала искали внутри выражения части, представляющие полный квадрат, а затем применяли формулу разности квадратов для окончательного разложения на множители.