Упражнение 1017 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 198

а) \((a + b)^2(a - b) - 2ab(b - a) - 6ab(a - b) = (a - b)^3\)

\((a + b)^2(a - b) + 2ab(a - b) - 6ab(a - b) = (a - b)^3\)

\((a - b)\bigl((a + b)^2 + 2ab - 6ab\bigr)=(a - b)^3\)

\((a - b)(a^2 + 2ab + b^2 - 4ab) = (a - b)^3\)

\((a - b)(a^2 - 2ab + b^2) = (a - b)^3\)

\((a - b)(a-b)^2 = (a - b)^3\)

б) \((a + b)(a - b)^2 + 2ab(a + b) - 2ab(-a - b) = (a + b)^3\)

\((a + b)(a - b)^2 + 2ab(a + b) + 2ab(a + b) = (a + b)^3\)

\((a + b)\bigl((a - b)^2 + 2ab + 2ab\bigr) = (a + b)^3\)

\((a + b)(a^2 - 2ab + b^2 + 4ab) = (a + b)^3\)

\((a + b)(a^2 + 2ab + b^2) = (a + b)^3\)

\((a + b)(a + b)^2= (a + b)^3\)

\( (a + b)^3 = (a + b)^3\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Противоположные выражения:

\(b - a = -(a - b)\),

\(-a - b = -(a + b).\)

2) Квадрат суммы и разности:

\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,\)

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. \)

3) Вынесение общего множителя за скобки:

\((a+b)x + (a+b)y = (a+b)(x+y).\)

4) Подобные слагаемые:

\(ax + bx = (a + b)x.\)

5) Свойство степени:

\(a^na^m=a^{n+m}\).

а) \(a^2 - b^2 + 2(a + b)^2 =\)

\(=(a - b)(a + b) + 2(a + b)(a + b) = \)

\(=(a + b)(a-b + 2(a + b) =\)

\(=(a + b)(a - b + 2a + 2b) =\)

\(= (a + b)(3a + b)\);

б) \(b^2 - c^2 - 10(b - c)^2 =\)

\(=(b - c)(b + c) - 10(b - c)(b - c) =\)

\(=(b-c)(b + c -10(b - c)=\)

\(=(b-c)(b + c - 10b + 10c) =\)

\(= (b - c)(11c - 9b)\);

в) \(2(x - y)^2 + 3x^2 - 3y^2 =\)

\(=2(x-y)^2 + 3(x^2 - y^2) =\)

\(=2(x-y)(x-y) + 3(x - y)(x + y) =\)

\(=(x - y)(2(x - y) + 3(x + y)) =\)

\(=(x - y)(2x - 2y + 3x + 3y)=\)

\(=(x - y)(5x + y)\);

г) \(5a^2 - 5 - 4(a + 1)^2 =\)

\(=5(a^2 - 1) - 4(a + 1)(a + 1) =\)

\(=5(a - 1)(a + 1) - 4(a + 1)(a + 1) =\)

\(=(a + 1) (5(a - 1) - 4(a + 1)) =\)

\(=(a + 1) (5a - 5 - 4a - 4)=\)

\(= (a + 1)(a - 9)\).

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1. Разность квадратов:

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).

2. Вынесение общего множителя за скобки:

\(ax + bx = (a + b)x\).

3. Приведение подобных членов:

\(ax + bx = (a + b)z\).

4. Распределительное свойство умножения:

\(a(x + y) = ax + by\).

а) Применили формулу разности квадратов для \(a^2 - b^2\), выражение \((a + b)^2\) представили в виде произведения двух одинаковых скобок, вынесли общий множитель \(a + b\), используя распределительное свойство раскрыли внутренние скобки во второй скобке, привели подобные члены во второй скобке.

б) Применили формулу разности квадратов для \(b^2 - c^2\), выражение \((b - c)^2\) представили в виде произведения двух одинаковых скобок, вынесли общий множитель \(b - c\), используя распределительное свойство раскрыли внутренние скобки во второй скобке, привели подобные члены во второй скобке.

в) Выражение \((x - y)^2\) представили в виде произведения двух одинаковых скобок. Вынесли общий множитель 3 у последних двух членов, получили разность квадратов \((x^2 - y^2)\), вынесли общий множитель \(x - y\), используя распределительное свойство раскрыли внутренние скобки во второй скобке, привели подобные члены во второй скобке.

г) У первых двух членов вынесли общий множитель 5, получили разность квадратов \((a^2 - 1^2)\). Выражение \((a + 1)^2\) представили в виде произведения двух одинаковых скобок. Вынесли общий множитель \(a + 1\), используя распределительное свойство раскрыли внутренние скобки во второй скобке, привели подобные члены во второй скобке.