Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№1015 учебника 2023-2025 (стр. 198):
Упростите:
а) \(\;2(a^2 - 1)^2-(a^2 + 3)(a^2 - 3)-\tfrac12\,(a^2 + a - 4)(2a^2 + 3);\)
б) \(\;4(m^3 - 3)^2-(m^2 - 6)(m^2 + 6)-9\,(8 - m + m^2)(1 - m).\)
№1015 учебника 2013-2022 (стр. 197):
Разложите на множители:
а) \(x^2 - y^2 - 1{,}5(x - y)\);
б) \(x^2 - a^2 + 0{,}5(x + a)\);
в) \(4a^2 - b^2 - 2a + b\);
г) \(p^2 - 16c^2 - p - 4c\);
д) \(a^2 + 6a + 6b - b^2\);
е) \(x^2 - 7x + 7y - y^2\).
№1015 учебника 2023-2025 (стр. 198):
Вспомните:
№1015 учебника 2013-2022 (стр. 197):
Вспомните:
№1015 учебника 2023-2025 (стр. 198):
а) \(\;2(a^2 - 1)^2-(a^2 + 3)(a^2 - 3)-\frac12\,(a^2 + a - 4)(2a^2 + 3)=\)
\(=2\bigl(a^4 - 2a^2 + 1\bigr) - (a^4 -9) -0,5\bigl(2a^4 +2a^3 -5a^2 +3a -12\bigr) =\)
\(= \cancel{2a^4}-4a^2 +2-\cancel{a^4}+9 -\cancel{a^4} - a^3 +2,5a^2 -1,5a +6=\)
\(= -a^3 - 1,5a^2 - 1,5a +17. \)
б) \(\;4(m^3 - 3)^2-(m^2 - 6)(m^2 + 6)-9\,(8 - m + m^2)(1 - m)=\)
\(= 4\bigl(m^6 -6m^3 +9\bigr) - (m^4 -36) -9\,(8-8m-m+m^2+m^2-m^3)=\)
\(=4m^6 -24m^3 +\cancel{36} -m^4 +\cancel{36} -\cancel{72} +72m+9m -9m^2 -9m^2 +9m^3=\)
\(= 4m^6-m^4-15m^3-18m^2+81m. \)
Пояснения:
Использованные приёмы:
1) Квадрат разности двух выражений:
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\)
2) Формула разности квадратов:
\((a - b)(a + b) = a^2 - b^2.\)
3) Умножение многочлена на многочлен:
\((a + b)(c + d) = ac + ad + dc + bd\).
4) Раскрытие скобок:
\(a - (b + c) = a - b - c\).
5) Распределительное свойство умножения:
\(a(b+c) = ab + ac.\)
6) Свойства степени:
\(a^ma^n=a^{m+n};\)
\((a^m)^n = a^{mn}.\)
7) Приведение подобных членов:
\(ax + bx = (a + b)x\).
№1015 учебника 2013-2022 (стр. 197):
а) \(x^2 - y^2 - 1{,}5(x - y) =\)
\(=(x - y)(x+y) - 1{,}5(x - y) =\)
\(=(x - y)(x + y - 1{,}5)\);
б) \(x^2 - a^2 + 0{,}5(x + a) =\)
\(=(x - a)(x + a) + 0{,}5(x + a) =\)
\(=(x + a)(x - a + 0{,}5)\);
в) \(4a^2 - b^2 - 2a + b =\)
\(=((2a)^2 - b^2) - (2a - b) =\)
\(=(2a - b)(2a + b) - 1 \cdot (2a - b) =\)
\(=(2a - b) (2a + b - 1)\);
г) \(p^2 - 16c^2 - p - 4c =\)
\(=(p^2 - (4c)^2) - (p + 4c) =\)
\(=(p - 4c)(p + 4c) - 1\cdot(p + 4c) =\)
\(=(p + 4c)(p - 4c - 1)\);
д) \(a^2 + 6a + 6b - b^2 =\)
\(=(a^2 - b^2) + (6a + 6b )=\)
\(= (a-b)(a+b)+6(a+b) =\)
\(=(a+b)(a - b+6)\);
е) \(x^2 - 7x + 7y - y^2 =\)
\(=(x^2 - y^2) - (7x - 7y) =\)
\(=(x-y)(x+y) - 7(x-y) =\)
\(=(x - y)(x + y - 7)\).
Пояснения:
Использованные формулы:
1. Разность квадратов:
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).
2. Вынесение общего множителя за скобки:
\(ax + bx = (a + b)x\).
3. Свойство степени:
\(a^nb^n = (ab)^n\).
а) Используем формулу разности квадратов для \(x^2 - y^2\), далее выносим общий множитель \((x - y)\).
б) Используем формулу разности квадратов для \(x^2 - a^2\), далее выносим общий множитель \(x+a\).
в) Группируем слагаемые: \((4a^2 - b^2)\) и \((2a + b)\). Применяем формулу разности квадратов для
\((4a^2 - b^2=(2a)^2 - b^2)\),
далее выносим общий множитель
\((2a + b)\).
г) Используем формулу разности квадратов для
\(p^2 - 16c^2 = (p - 4c)(p + 4c)\),
далее выносим общий множитель
\((p + 4c)\).
д) Группируем:
\((a^2 - b^2)\) и \((6a + 6b)\).
Применяем формулу разности квадратов для \((a^2 - b^2)\), далее выносим общий множитель \((a + b)\).
е) Группируем:
\((x^2 - y^2)\) и \((-7x + 7y)\).
Применяем формулу разности квадратов для \((x^2 - y^2)\), далее выносим общий множитель \(x-y\).
Вернуться к содержанию учебника