Упражнение 1010 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((3n - 1)(n + 1) + (2n - 1)(n - 1) - (3n + 5)(n - 2)=\)

\(=(3n^2 +3n-n-1)+(2n^2-2n-n+1)-(3n^2-6n+5n-10)=\)

\(=\cancel{3n^2} +3n-n-\cancel{1}+2n^2-2n-n+\cancel{1}-\cancel{3n^2}+6n-5n+10)=\)

\(=2n^2 + 10\)

Если \(n = -3,5\), то

\(2\cdot( -3,5)^2 + 10 =\)

\(=2\cdot12,25 + 10 = \)

\(=24,5 + 10 = 34,5 \)

б) \((5y - 1)(2 - y) - (3y + 4)(1 - y) + (2y + 6)(y - 3)=\)

\(=(10y-5y^2-2+y) - (3y-3y^2+4-4y)+(2y^2-\cancel{6y}+\cancel{6y}-18)=\)

\(=10y-\cancel{5y^2}-2+y - 3y+\cancel{3y^2}-4+4y+\cancel{2y^2}-18=\)

\(=12y-24\).

Если \(y=4\), то

\(12\cdot4 -24 = 48 -24 = 24 \)

Пояснения:

1) Умножение многочлена на многочлен:

\((a + b)(c + d) = ac + ad + dc + bd\).

2) Раскрытие скобок:

\(a - (b + c) = a - b - c\).

3) Приведение подобных членов:

\(ax + bx = (a + b)x\).

4) Подстановка значения переменной: после упрощения выражения заменяем \(n\) или \(y\) на заданное число и выполняем арифметические вычисления.

а) \( 2x^8 - 12x^4 + 18 =\)

\(=2\bigl(x^8 - 6x^4 + 9\bigr) =\)

\(=2\bigl((x^4)^2 - 2\cdot3\,x^4 + 3^2\bigr) = \)

\(=2\,(x^4 - 3)^2. \)

б) \( -2a^6 - 8a^3b - 8b^2 =\)

\(=-2\bigl(a^6 + 4a^3b + 4b^2\bigr) =\)

\(=-2\bigl((a^3)^2 + 2\cdot2\,a^3b + (2b)^2\bigr) =\)

\(=-2\,(a^3 + 2b)^2. \)

в) \( a^4b + 6a^2b^3 + 9b^5 =\)

\(=b\bigl(a^4 + 6a^2b^2 + 9b^4\bigr) =\)

\(=b\bigl((a^2)^2 + 2\cdot3\,a^2b^2 + (3b^2)^2\bigr) =\)

\(=b\,(a^2 + 3b^2)^2. \)

г) \( 4x + 4xy^6 + xy^{12} =\)

\(=x\bigl(4 + 4y^6 + y^{12}\bigr) =\)

\(=x\bigl(2^2 + 2\cdot2\,y^6 + (y^6)^2\bigr) = \)

\(=x\,(2+y^6)^2. \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Вынесение общего множителя:

\(ax + ay = a(x+y)\).

2) Квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\)

2) Квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\)

3) Свойства степени:

\(a^nb^n = (ab)^n;\)

\((a^m)^n = a^{mn}\).

Каждое выражение сводится к квадрату двучлена, умноженному на общий множитель.