Упражнение 1012 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( (a^2 + b^2)(ab + cd) - ab\bigl(a^2 + b^2 - c^2 - d^2\bigr) = (ac + bd)(ad + bc) \)

\( \cancel{a^3b} + \cancel{ab^3} + a^2cd + b^2cd - \cancel{a^3b} - \cancel{ab^3} + abc^2 + abd^2=(ac + bd)(ad + bc) \)

\((a^2cd + abd^2) + (abc^2 + b^2cd) =(ac + bd)(ad + bc) \)

\( ad\,(ac + bd) + bc\,(ac + bd) =(ac + bd)(ad + bc) \)

\( (ac + bd)\,(ad + bc) = (ac + bd)(ad + bc) \)

Тождество доказано.

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Умножение многочлена на многочлен:

\((a + b)(c + d) = ac + ad + dc + bd\).

2) Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c) = ab + ac.\)

3) Раскрытие скобок:

\(a - (b + c) = a - b - c\).

4) Приведение подобных членов:

\(ax + bx = (a + b)x\).

5) Группировка и вынос общего множителя:

\( ay + by = (a + b)y. \)

6) Свойство степени:

\(a^m\cdot{a^n}=a^{m+n}.\)

Пояснение к шагам:

– Сначала раскрыли обе скобочные части в левой стороне по правилу умножения многочлена на многочлен.

– Затем вычли второй множитель, сократив подобные члены.

– Оставшиеся четыре слагаемых сгруппировали в две пары, в каждой из которых вынесли общий множитель (из первой пары - множитель \(ad\), а из второй пары - множитель \(bc\).

– Получили одинаковую скобку, которую также вынесли как общий множитель, получили произведение двух скобок, что совпадает с правой частью тождества.

а) \( 3a^3 - 3ab^2 + a^2b - b^3 =\)

\(= (3a^3 - 3ab^2) + (a^2b - b^3) =\)

\(=3a(a^2 - b^2) + b(a^2 - b^2) =\)

\(=(3a + b)(a^2 - b^2) =\)

\(=(3a + b)(a - b)(a + b). \)

б) \( 2x - a^2y - 2a^2x + y =\)

\( =(2x - a^2y) - (y-2a^2x) =\)

\(=2x(1 - a^2) + y(1 - a^2) =\)

\(=(1 - a^2)(2x + y) =\)

\(=(1 - a)(1 + a)(2x + y). \)

в) \( 3p - 2c^3 - 3c^3p + 2 = \)

\(= (3p - 3c^3p) + (2 - 2c^3) = \)

\(=3p(1 - c^3) + 2(1 - c^3) =\)

\(=(1 - c^3)(3p + 2) =\)

\(=(1 - c)(1 + c + c^2)(3p + 2). \)

г) \( a^4 - 24 + 8a - 3a^3 =\)

\(=(a^4 - 3a^3) + (8a - 24) =\)

\(=a^3(a - 3) + 8(a - 3) =\)

\(=(a^3 + 8)(a - 3) =\)

\(=(a + 2)(a^2 - 2a + 4)(a - 3). \)

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

1) Группировка: разбили многочлен на суммы, из каждой группы вынесли общий множитель.

2) Вынесение общего множителя:

\(ax + ay = a(x+y)\).

3) Разность квадратов:

\((a^2 - b^2) = (a - b)(a + b).\)

3) Сумма кубов:

\((a^3 + b^3) = (a + b)(a^2 - ab + b^2).\)

4) Разность кубов:

\((a^3 - b^3) = (a - b)(a^2 + ab + b^2).\)

С помощью, приведенных выше приемов, каждое исходное выражение сведено к произведению простейших множителей.