Упражнение 1132 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(x\) (г/см³) плотность железа и

\(y\) (г/см³) плотность меди.

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} 4{,}5\,x + 8\,y = 101{,}5,\\ 3\,x - 2\,y = 6{,}8   /\times4 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 4{,}5\,x + 8\,y = 101{,}5,\\ 12\,x - 8\,y = 27,2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 16{,}5\,x = 128{,}7,\\ 12\,x - 8\,y = 27,2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = \frac{128,7}{16,5},\\ 8\,y = 12\,x-27,2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = \frac{1287}{165},\\ 8\,y = 12\,x-27,2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 7,8, \\ 8\,y = 12\cdot7,8-27,2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 7,8,\\ 8\,y = 93,6-27,2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 7,8,\\ 8\,y =66,4 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 7,8,\\ 8\,y =\frac{66,4}{8} \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 7,8,\\ 8\,y =8,3 \end{cases} \)

Ответ: плотность железа 7,8 г/см³ и плотность меди 8,3 г/см³.

Пояснения:

Использованные приёмы:

1) Введение переменных: \(x\) — плотность железа, \(y\) — плотность меди.

2) Перевод условий задачи в систему линейных уравнений:

– масса смеси: \(4{,}5x + 8y = 101{,}5\);

– разность масс: \(3x - 2y = 6{,}8\).

3) Перенос членов из одной части уравнения в другую:

если \(a+b=c+d\), то \(a-d=c-b\).

4) Решение системы методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных. Там, где необходимо, одно из уравнений или оба уравнения делим или умножаем на числа так, чтобы перед одной из переменных получить противоположные коэффициенты, которые при сложении приведут к сокращению выражений с этой переменной.

5) После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной.

6) Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).

7) Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.

а) \( \begin{cases} 3x - y < 0,\\ x + y > 1; \end{cases} \)

\(x=-3\), \(y=4\):

\( \begin{cases} 3\cdot(-3) - 4 < 0,\\ -3 + 4 > 1; \end{cases} \)

\( \begin{cases} -9 - 4 < 0,\\ 1 > 1; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 13 < 0 - \text{верно},\\ 1 > 1  - \text{неверно}. \end{cases} \)

Ответ: пара \((-3,4)\) не является решением системы.

б) \( \begin{cases} x + y < 5,\\ x - 2y > -15 \end{cases} \)

\(x=-3\), \(y=4\):

\( \begin{cases} -3 + 4 < 5,\\ -3 - 2\cdot4 > -15 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 1 < 5,\\ -3 - 8 > -15 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 1 < 5 - \text{верно},\\ -11 > -15  - \text{верно}. \end{cases} \)

Ответ: пара \((-3,4)\) является решением системы (б).

Пояснения:

1) Для проверки решения системы неравенств подставляем координаты в каждое из них.

2) Если хотя бы одно неравенство системы неверно, пара чисел не является решением.

3) В случае (а) второе неравенство даёт \(1>1\), что неверно.

4) В случае (б) оба неравенства верны (\(1<5\) и \(-11>-15\)).