Упражнение 1127 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 223

Пусть \(x\) (км/ч) скорость первого туриста, а \(y\) (км/ч) скорость второго туриста.

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} 4(x + y) = 38,\\ 4x - 4y = 2. \end{cases} \)

\( \begin{cases} 4x + 4y = 38,\\ 4x - 4y = 2. \end{cases} \)

\( \begin{cases} 8x = 40,\\ 4x - 4y = 2. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = \frac{40}{8},\\ 4y = 4x - 2. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 5,\\ 4y = 4\cdot5 - 2. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 5,\\ 4y = 20 - 2. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 5,\\ 4y = 18. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 5,\\ y = \frac{18}{4}. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 5,\\ y = 4,5. \end{cases} \)

Ответ: первый турист шёл со скоростью 5 км/ч, второй — 4,5 км/ч.

Пояснения:

Использованные приёмы:

1) Введение переменных: \(x\) и \(y\) — скорости туристов.

2) Составление системы уравнений по сумме пройденных расстояний за 4 ч и по разности этих расстояний (2 км).

3) Решение системы методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных. После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной.

4) Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).

5) Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.

\( y = -x^2 - 6x - 11 =\)

\(=-\bigl(x^2 + 6x + 11\bigr) =\)

\(=-\Bigl(\,(x^2 + 6x + 9) + 2\Bigr) = \)

\(=-\bigl((x+3)^2 + 2\bigr) =\)

\(=-(x+3)^2 - 2. \)

\((x+3)^2 \ge 0\) для любого \(x\), тогда

\( -(x+3)^2 \le 0, \) значит,

\( y = -(x+3)^2 - 2 \le -2 < 0 \) при всех \(x\), то есть график данной функции лежит в нижней полуплоскости.

Пояснения:

Использованные приёмы:

1) Квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2).

2) Противоположные выражения:

\(-(a +b) = -a-b\).

3) Квадрат любого действительного числа неотрицателен: \((x+3)^2 \ge 0\).

3) Вывод, что сумма отрицательного полного квадрата и числа \(-2\) всегда меньше нуля.