Упражнение 1130 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(x\) число книг на первой полке, а \(y\) — на второй.

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} x + y = 55,\\ x + 0,5y = 4\cdot(y -0,5y). \end{cases} \)

\( \begin{cases} x + y = 55,\\ x + 0,5y = 4y - 2y. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x + y = 55,\\ x + 0,5y = 2y. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x + y = 55,\\ x + 0,5y - 2y =0. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x + y = 55,\\ x - 1,5y =0    /\times(-1) \end{cases} \)

\( \begin{cases} x + y = 55,\\ -x + 1,5y =0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2,5y = 55,\\ -x + 1,5y =0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = \frac{55}{2,5},\\ x = 1,5y \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = \frac{550}{25},\\ x = 1,5y \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 22,\\ x = 1,5\cdot22 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 22,\\ x = 33 \end{cases} \)

Ответ: 33 книги на первой полке и 22 книги на второй полке.

Пояснения:

Использованные приёмы:

1) Введение переменных \(x\) и \(y\) для числа книг на первой и второй полках.

2) Составление системы из уравнения общей суммы и уравнения после перестановки книг.

3) Раскрытие скобок, используя распределительное свойство умножения:

\(a(b+c)=ab+ac\).

4) Перенос членов из одной части уравнения в другую:

если \(a+b=c+d\), то \(a-d=c-b\).

5) Приведение подобных членов при преобразовании уравнений:

\(ax + bx = (a + b)x\).

6) Решение системы методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных. Там, где необходимо, одно из уравнений или оба уравнения делим или умножаем на числа так, чтобы перед одной из переменных получить противоположные коэффициенты, которые при сложении приведут к сокращению выражений с этой переменной.

7) После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной.

8) Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).

9) Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.

а) \(y \ge x + 1\).

б) \(y < -0{,}2x + 3\).

Пояснения:

1) Постройте границу. Для построения линейной функции \(y = kx + b\) достаточно найти две точки и провести через них прямую. Значения \(x\) берем произвольно, подставляем их в уравнение прямой и находим соответствующие значения \(y\).

2) Для «\(\ge\)» или «\(\le\)» граница сплошная и включается в множество; для «<» или «>» — пунктир и не включается.

3) Штрихуйте полуплоскость, где неравенство истинно (над прямой при «\(\ge\)», ниже при «<»).

а) \(y \ge x + 1\).

Граница — прямая \(y = x + 1\), которую строим по точкам \((0,1)\) и \((-1,0)\).

Так как знак «\(\ge\)», линия включается. Штрихуем полуплоскость над прямой (все точки, у которых координата \(y\) не менее \(x+1\)).

б) \(y < -0{,}2x + 3\).

Граница — прямая \(y = -0{,}2x + 3\), которую строим по точкам \((0,3)\) и \((5, 2)\).

Так как знак «<», линия не включается (пунктир). Штрихуем полуплоскость ниже этой прямой (все точки, у которых \(y\) меньше \(-0{,}2x+3\)).