Упражнение 1123 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 223

Пусть \(x\) число деталей, изготавливаемых первым автоматом за 1 ч, \(y\) — вторым автоматом за 1 ч.

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} 3x + 2y = 720,\\ \frac{1}{4}(2x + 2y) = 150.   /\times4 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3x + 2y = 720, /\times(-1) \\ 2x + 2y = 150\cdot4. \end{cases} \)

\( \begin{cases} -3x - 2y = -720,\\ 2x + 2y = 600 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -x = -120,\\ 2x + 2y = 600   / : 2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 120,\\ x + y = 300 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 120,\\ x = 300 - y \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 120,\\ x = 300 - 120 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 120,\\ x = 180 \end{cases} \)

Ответ: 120 деталей изготавливает первый автомат за 1 ч, 180 деталей - второй.

Пояснения:

Использованные приёмы:

1) Введение переменных \(x\) и \(y\) для часовых производительностей автоматов.

2) Составление системы уравнений по суммарному выпуску за разные времена и по условию о четверти продукции.

3) Решение системы методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных. После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной. Там, где необходимо, одно из уравнений или оба уравнения делим или умножаем на числа так, чтобы перед одной из переменных получить противоположные коэффициенты, которые при сложении приведут к сокращению выражений с этой переменной.

4) Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.

Пусть \(x\) частное при делении уменьшенного числа на 5, а \(y\) — частное при делении на 7.

Составим систему по условиям деления с остатком и по разности частных:

\( \begin{cases} 5x + 1 = 7y + 1,\\ x - y = 2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 5x - 7y = 1 - 1,\\ x - y = 2  /\times(-5) \end{cases} \)

\( \begin{cases} 5x - 7y = 0,\\ -5x + 5y = -10 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -2y = -10,\\ 5x - 7y = 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = \frac{10}{2},\\ 5x = 7y \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 5,\\ 5x = 7\cdot5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 5,\\ 5x = 35 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 5,\\ x = \frac{35}{5} \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 5,\\ x = 7 \end{cases} \)

\(7\cdot5 + 1 = 36\)

\(5\cdot7 + 1 = 36\)

\(100 - 36 = 64 \)

Ответ: число 100 надо уменьшить на 64.

Пояснения:

Используемые приёмы:

1) Введение переменных \(x\), \(y\) для частных и \(m\) для уменьшения.

2) Составление системы по формулам деления с остатком и по условию \(x=y+2\).

3) Решение системы методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных. Там, где необходимо, одно из уравнений или оба уравнения делим или умножаем на числа так, чтобы перед одной из переменных получить противоположные коэффициенты, которые при сложении приведут к сокращению выражений с этой переменной.

4) После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной.

5) Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).

6) Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.

7) Учитывая то, что

\(7\cdot5 + 1 = 36\) и \(5\cdot7 + 1 = 36\),

число 100 надо уменьшить на 64, так как \(100 - 36 = 64 \).