Упражнение 1122 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(x\) текущий возраст брата, а \(y\) — текущий возраст сестры.

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} x - 2 = 2\,(y - 2),\\ x - 8 = 5\,(y - 8). \end{cases} \)

\( \begin{cases} x - 2 = 2y - 4,\\ x - 8 = 5y - 40. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x - 2y = 2 - 4,\\ x - 5y = 8 - 40. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x - 2y = -2,    /\times(-1) \\ x - 5y = -32.  \end{cases} \)

\( \begin{cases} -x + 2y = 2, \\ x - 5y = -32. \end{cases} \)

\( \begin{cases} -3y = -30, \\ x - 5y = -32. \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = \frac{30}{3}, \\ x = 5y-32. \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 10, \\ x = 5\cdot10 -32. \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 10, \\ x = 50 -32. \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 10, \\ x = 18. \end{cases} \)

Ответ: брату 18 лет, сестре 10 лет.

Пояснения:

Использованные приёмы:

1) Введение переменных: \(x\) — возраст брата, \(y\) — возраст сестры.

3) Раскрытие скобок (распределительное свойство умножения):

\(a(x+y)=ax + ay\).

4) Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую:

если \(a + b = c + d\), то \(a-d=c-b\).

5) Решение системы методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных. После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной. Там, где необходимо, одно из уравнений или оба уравнения делим или умножаем на числа так, чтобы перед одной из переменных получить противоположные коэффициенты, которые при сложении приведут к сокращению выражений с этой переменной.

6) Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).

7) Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.

70% = 0,7;

48% = 0,48;

60% = 0,6

Пусть \(x\) (г) масса 70%-го раствора, а \(y\) (г) масса 48%-го раствора.

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} x + y = 660,\\ 0{,}70x + 0{,}48y = 0{,}60 \times 660. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x + y = 660,    /\times(-70) \\ 0{,}7x + 0{,}48y = 396   /\times100 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -70x - 70y = -46 200, \\ 70x + 48y = 39 600\end{cases} \)

\( \begin{cases} -22y = -6600, \\ -70x - 70y = -46 200 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = \frac{6600}{22}, \\ 70x = 46 200 - 70y \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 300, \\ 70x = 46 200 - 70\cdot300 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 300, \\ 70x = 46 200 - 21 000 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 300, \\ 70x = 25 200 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 300, \\ x = \frac{25 200}{70} \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 300, \\ x = 360 \end{cases} \)

Ответ: взяли 360 г 70%-го и 300 г 48%-го раствора.

Пояснения:

Использованные приёмы:

1) Введение переменных \(x\) и \(y\) для масс растворов.

2) Составление системы по общей массе и по массе чистой кислоты.

3) Решение системы методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных. Там, где необходимо, одно из уравнений или оба уравнения делим или умножаем на числа так, чтобы перед одной из переменных получить противоположные коэффициенты, которые при сложении приведут к сокращению выражений с этой переменной.

4) После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной.

5) Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).

6) Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.