Упражнение 1190 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( \begin{cases} 2x + 3y = 20,\\ 3x - 5y = 11,\\ x+y=9 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2x + 3y = 20,\\ 3(9-y) - 5y = 11,\\ x=9 - y \end{cases} \)

\(3(9-y) - 5y = 11\)

\(27 - 3y - 5y = 11\)

\(-8y = 11 - 27\)

\(-8y = -16\)

\(y=\frac{16}{8}\)

\(y = 2\)

\(x=9 - 2 = 7\)

\(2\cdot7 + 3\cdot2 = 20\)

\(14 + 6 = 20\)

\(20 = 20\) - верно.

Ответ: прямые проходят через одну и ту же точку \((7;2)\).

Пояснения:

1) Если система из трех линейных уравнений имеет решение, то эти прямые проходят через одну и ту же точку.

2) Чтобы решить систему из трех уравнений, достаточно решить любые два уравнения, найти значения \(x\) и \(y\) и подставить их в третье уравнение, если числовое равенство при подстановке получится верным, то полученные значения \(x\) и \(y\) являются решениями этой системы, если числовое равенство при подстановке получится неверным, то система не имеет решения.

2) При решении системы применён метод подстановки:

– из одного уравнения выражаем одну переменную через другую;

– подставляем это выражение в другое уравнение, получая уравнение с одной переменной;

– решаем полученное уравнение, находим значение первой переменной;

– затем вычисляем вторую переменную, подставляя найденное значение обратно.

\( 1^3 + 2^3 + \dots + 99^3= \)

\(=(1^3 + 99^3) + (2^3 + 98^3) + ... + (49^3 + 51^3) + 50^3 =\)

\(= (1 + 99)(1^2-1\cdot99+99^2) + (2+98)(2^2-2\cdot98+98^2) + ... + (49 + 51)(49^2-49\cdot51+51^2) + (5\cdot10)^3=\)

\(= 100(1^2-1\cdot99+99^2) + 100(2^2-2\cdot98+98^2) + ... + 100(49^2-49\cdot51+51^2) + 125000=\)

\(= 100(1^2-1\cdot99+99^2 + 2^2-2\cdot98+98^2 + ... + 49^2-49\cdot51+51^2 + 1250)\) - делится на 100.

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

– Группируем пары \(k^3\) и \((100-k)^3\), которые при раскрытии формулы суммы кубов дают множитель 100. Формула суммы кубов:

\(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\).

– Число 50 при возведении в куб даёт 125 000.

– Таким образом, у каждого слагаемого можно вынести за скобки множитель 100, а это говорит о том, что исходное выражение делится на 100.