Упражнение 1194 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 233

Пусть \(x\) (ч) и \(y\) (ч) времена движения на участках \(A\to B\) и \(B\to C\) соответственно. Известно, что на весь путь велосипедист затратил 5 ч и тот же путь за то же время он мог бы проехать с постоянной скоростью 12 км/ч.

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} x + y = 5,\\ 10x + 15y = 12\cdot5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 5 - y,\\ 10(5 - y) + 15y = 60 \end{cases} \)

\(10(5 - y) + 15y = 60\)

\(50 - 10y + 15y = 60\)

\(5y = 60 - 50\)

\(5y = 10\)

\(y = \frac{10}{2}\)

\(y = 2\)

\(x = 5 - 2 = 3\)

Ответ: велосипедист на путь от A до B затратил 3 ч, на путь от B до C – 2 ч.

Пояснения:

– Обозначили \(x\) и \(y\) как времена на отдельных участках.

– Формула пути для каждого участка: \(S = v\,t\).

– Сумма времен даёт общее время: \(x+y=5\).

– Сумма расстояний на участках \(10x+15y\) должна равняться эквивалентному пути \(60\) км.

– Решили систему линейных уравнений методом подстановки:

• из одного уравнения выражаем одну переменную через другую;
• подставляем это выражение в другое уравнение, получая уравнение с одной переменной;
• решаем полученное уравнение, находим значение первой переменной;
• затем вычисляем вторую переменную, подставляя найденное значение обратно.

Пусть \(N = \underbrace{111\ldots1}_{81\text{ раз}}\)

Сумма цифр числа \(N\):

\(\underbrace{1+1+1+\ldots+1}_{81\text{ раз}}=81\)

Значит, число \(N\) делится на 9.

Пусть \( A = \frac{N}{9}, \) причём \(A\) - целое число.

\(A = \underbrace{111\,111\,111}_{9\text{ единиц}} \;\underbrace{111\,111\,111}_{9\text{ единиц}} \;\dots \;\underbrace{111\,111\,111}_{9\text{ единиц}} \quad(9\text{ раз}). \)

Сумма цифр каждого блока «111 111 111» равна 9, а таких блоков 9, значит сумма цифр числа \(A\) равна \(9 \times 9 = 81\), снова кратна 9. Поэтому число \(A\) делится на 9.

Вывод:
Имеем \(N = 9 \cdot A\), причём и 9, и \(A\) делятся на 9. Значит, \( N \text{ делится на }9\times9 = 81. \)

Пояснения:

– Признак делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

– Мы применили его дважды: сначала к \(N\), затем к числу \(A\).

– Получили, что \(N\) имеет в разложении на простые множители по крайней мере две девятки, то есть делится на 81.