Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№1205 учебника 2023-2025 (стр. 234):
Три ящика наполнены орехами. Во втором ящике орехов на 10 % больше, чем в первом, и на 30 % больше, чем в третьем. Сколько орехов в каждом ящике, если в первом на 80 орехов больше, чем в третьем?
№1205 учебника 2013-2022 (стр. 233):
Что больше:
\( \frac{10^{10}+1}{10^{11}+1} \quad\text{или}\quad \frac{10^{11}+1}{10^{12}+1} \)?
№1205 учебника 2023-2025 (стр. 234):
Вспомните:
№1205 учебника 2013-2022 (стр. 233):
Вспомните:
№1205 учебника 2023-2025 (стр. 234):
Пусть \(x\), \(y\) и \(z\) количество орехов в первом, втором и третьем ящиках соответственно.
Составим систему уравнений:
\( \begin{cases} y = 1{,}1\,x,\\ y = 1{,}3\,z,\\ x - z = 80. \end{cases} \)
\( \begin{cases} y = 1{,}1\,x,\\ 1{,}1\,x = 1{,}3\,z,\\ x - z = 80. \end{cases} \)
\( \begin{cases} y = 1{,}1\,x,\\ x = \frac{1{,}3}{1{,}1}\,z,\\ x - z = 80. \end{cases} \)
\( \begin{cases} y = 1{,}1\,x,\\ x = \frac{13}{11}\,z,\\ \frac{13}{11}\,z - z = 80. \end{cases} \)
\( \tfrac{13}{11}z - z = 80 \) /\(\times11\)
\( 13z - 11z = 880 \)
\(2z = 880 \)
\(z = \frac{880}{2} \)
\(z = 440. \)
\( x = \tfrac{13}{\cancel{11}}\cdot\cancel{440}^{40}= 13\cdot40 = 520\)
\(y = 1{,}1\cdot 520 = 572. \)
| × | 5 | 2 | 0 | |
| 1 | 1 | |||
| + | 5 | 2 | ||
| 5 | 2 | |||
| 5 | 7 | 2 | 0 |
Пояснения:
– Увеличение на 10% соответствует коэффициенту 1,1, а увеличение на 30% соответствует коэффициенту 1,3.
– Составили систему трёх уравнений по трём неизвестным \(x,y,z\).
– Метод подстановки: из уравнений на \(y\) выразили \(x\) через \(z\), затем нашли \(z\), а после — \(x\) и \(y\).
№1205 учебника 2013-2022 (стр. 233):
Пусть \(a=10^{10}\). Тогда
1) \( \frac{10^{10}+1}{10^{11}+1} = \frac{10^{10}+1}{10\cdot10^{10}+1}=\)
\(=\frac{a+1}{10a+1}^{\color{blue}{\backslash100a+1}} =\)
\(=\frac{(a+1)(100a+1)}{(10a+1)(100a+1)}=\)
\(=\frac{100a^2+a+100a+1}{(10a+1)(100a+1)}=\)
\(\frac{100a^2+101a+1}{(10a+1)(100a+1)}.\)
2) \(\frac{10^{11}+1}{10^{12}+1} =\frac{10^{11}+1}{10^2\cdot10^{10}+1}=\)
\(=\frac{10a+1}{100a+1}^{\color{blue}{\backslash10a+1}} = \)
\(=\frac{(10a+1)(10a+1)}{(100a+1)(10a+1)}=\)
\(=\frac{(10a+1)^2}{(100a+1)(10a+1)}=\)
\(=\frac{100a^2+20a+1}{(10a+1)(100a+1)}.\)
3) \(\frac{100a^2+101a+1}{(10a+1)(100a+1)}>\frac{100a^2+20a+1}{(10a+1)(100a+1)}\)
\(\frac{a+1}{10a+1} > \frac{10a+1}{100a+1}\)
\( \frac{10^{10}+1}{10^{11}+1} > \frac{10^{11}+1}{10^{12}+1} \)
Пояснения:
– При сравнении учитываем то, что две дроби положительные.
– Свойство степени
\(a^ma^n = a^{m+n}\),
позволяет ввести обозначение
\(a=10^{10}\).
– Для сравнения приводим дроби к общему знаменателю, при этом помним правила:
1) Умножение многочлена на многочлен:
\((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\);
2) квадрат суммы двух выражений:
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
– Сравниваем числители полученных дробей: из двух дробей с одинаковыми знаменателями, больше та дробь, у которой числитель больше.
Вернуться к содержанию учебника