Упражнение 1233 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 236

\(p\) и \(q\) - простые числа.

\[\;p^2 - 2\,q^2 = 1.\]

\[2q^2 = p^2 - 1.\]

\[2q^2 = (p - 1)(p + 1).\]

\(p\) — простое и больше 2, так как данная разность положительна, и оно нечётное. Значит, и \(p-1\), и \(p+1\) — чётные. Тогда одно из них обязательно делится на 4, а произведение \((p-1)(p+1)\) делится на 8. Отсюда \(2q^2\) делится на 8, значит, \(q^2\) делится на 4, то есть \(q^2\) — квадрат чётного простого числа, поэтому \(q=2\).

\(p^2 - 2\cdot2^2 = 1\)

\(p^2 - 8 = 1 \)

\(p^2 = 9 \)

\(p = 3\) или \(p = -3\) - не подходит.

Ответ: единственная пара простых чисел — \(p=3\), \(q=2\).

Пояснения:

1) Корни уравнения не изменяются, если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.

2) Разность квадратов двух выражений:

\(\;p^2 - 1 = (p-1)(p+1)\).

3) Если \(p\) нечётно, то оба соседних числа \(p-1\) и \(p+1\) чётные, и одно из них делится на 4, поэтому их произведение кратно 8.

4) Из равенства \(2q^2\) кратно 8 следует, что \(q^2\) кратно 4, тогда \(q\) чётно и из простых чисел подходит только 2.

5) Подставляя \(q=2\) в исходное уравнение, получаем ровно одно целое \(p=3\), что и завершает доказательство.