Упражнение 48 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{3^{n+2}-3^n}{3^{n+2}+3^{n+1}+3^n}=\)

\(= \frac{3^n\bigl(3^2-1\bigr)}{3^n\bigl(3^2+3+1\bigr)}=\)

\(= \frac{\cancel{3^n}\cdot8}{\cancel{3^n}\cdot13} = \frac{8}{13}\) - не зависит от \(n\).

б) \(\displaystyle \frac{16^{n+1}-2^{n+4}}{4\cdot2^n\,(2^{3n}-1)}=\)

\(=\displaystyle \frac{(2^4)^{n+1}-2^{n+4}}{2^2\cdot2^n\,(2^{3n}-1)}=\)

\(=\displaystyle \frac{2^{4n+4} - 2^{n+4}}{2^{n+2}\,(2^{3n}-1)}=\)

\(=\displaystyle \frac{2^{n+4}\cancel{\bigl(2^{3n} - 1\bigr)}}{2^{n+2}\,\cancel{(2^{3n}-1)}}=\)

\(=\displaystyle \frac{2^{n+4}}{2^{n+2}}=2^{(n+4)-(n+2)}=\)

\(=2^{\cancel{n}+4-\cancel{n}-2}=2^2=4\) - не зависиn от \(n\).

Пояснения:

— В обоих случаях мы вынесли из числителя и знаменателя общий множитель, после чего дробь упростилась и получилось число без переменной.

— В пункте а) общий множитель — \(3^n\), а в скобках осталось \(8\) и \(13\).

— В пункте б) из числителя и знаменателя вынесли \(2^{n+2}(2^{3n}-1)\), что дало в результате степень \(2^2\).

— Полученные значения \(\tfrac{8}{13}\) и \(4\) не зависят от натурального \(n\).

При выполнении преобразований использовали свойства степени:

\(a^ma^n = a^{m+n}\);

\((a^m)^n = a^{mn}\);

\(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).

а) \( 2a + b = \frac{(2a + b)\,b}{b} = \frac{2ab + b^2}{b}. \)

б) \( 2a + b = \frac{(2a + b)\,5}{5} = \frac{10a + 5b}{5}. \)

в) \( 2a + b = \frac{(2a + b)\,3a}{3a} =\)

\(=\frac{6a^2 + 3ab}{3a}. \)

г) \( 2a + b = \frac{(2a + b)\,(2a - b)}{2a - b} =\)

\(=\frac{4a^2 - b^2}{2a - b}. \)

Пояснения:

При приведении дробей к новому знаменателю, учитываем то, что если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится дробь, тождественно равная данной. 

Приемы, использованные при преобразовании числителя:

1) умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c) = ab + ac\);

2) разность квадратов двух выражений:

\((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\).