Упражнение 261 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(y = -4 \;-\;\frac{x+2}{x^2 + 2x}\)

Область определения:

\(x^2+2x \neq0\)

\(x(x+2)\neq 0\)

\(x\neq0\)     \(x+2\neq0\)

                \(x\neq-2\)

\(y = -4 \;-\;\frac{x+2}{x^2 + 2x}=\)

\(= -4 \;-\;\frac{x+2}{x(x + 2)}=-4 \;-\;\frac{1}{x},\)

\( x\neq 0,\,-2.\)

Пересечений нет при:

\(m = -4 \quad\text{и}\quad m = -3,5.\)

Пояснения:

1. Упрощение дроби:

Использована разложение на множители:

\[x^2+2x = x(x+2),\]

и сокращение одинаковых множителей.

Область определения: все числа кроме \(0,\,-2.\)

После упрощения выражения получили функцию \(y-=-4 \;-\;\frac{1}{x}.\) Графиком данной функции является гипербола, которая смещенна ниже оси абсцысс на 4 единичных отрезков. Заметим, что так как исходная функция не определена в точке с абсциссой \(-2\), то точка \((-2; 3,5)\) на графике будет "выколотой". 

1 вариант решения:

\(y = \frac{k}{x}\quad(k\neq0)\) - графиком является гипербола.

\(y = ax + b\) - графиком является прямая. 

могут пересекаться только в 1 точке.

могут пересекаться только в 2 точках.

в) не могут пересекаться в 3 точках.

2 вариант решения:

Для нахождения точек пересечения решим уравнение

\(\frac{k}{x} = ax + b,\quad x\neq0\ \)      \(|\times x\)

\(k = ax^2 + bx\)

\[ax^2 + bx - k = 0\]

\(D = b^2 + 4ak.\)

а) Пересечение в одной точке возможно, если \(D = 0.\)

Так как квадратное уравнение имеет единственный действительный корень.

б) Пересечение в двух точках происходит, если \(D > 0.\)

Так как квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.

в) Пересечение в трёх точках невозможно, поскольку квадратное уравнение не может иметь более двух корней.

Пояснения:

1. Переход к квадратному уравнению:

Приравнивание \(\frac{k}{x}\) и \(ax+b\) и домножение на \(x\neq0\) дают уравнение второй степени.

2. Дискриминант и число решений:

Формула для дис­криминанта:

\(D = B^2 - 4AC\), где \(A=a\), \(B=b\), \(C=-k\).

Тогда:

\(D = b^2 - 4\cdot a\cdot(-k) = b^2 + 4ak.\)

Если \(D>0\), два пересечения; \(D=0\), одно (касательная); \(D<0\), нет пересечений.