Упражнение 374 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(\sqrt{n^2 - 75}=k\), где \(k\in\mathbb{N}\). Тогда

\( n^2 - 75 = k^2 \)

\[ n^2 - k^2 = 75 \]

\[ (n - k)(n + k) = 75 \]

1) \(75= 1\cdot75\)

\( \begin{cases} n - k = 1,\\n + k = 75 \end{cases} \)   \((+)\)

\(2n = 76\)

\(n = \frac{76}{2}\)

\(n = 38\in\mathbb{N}\)

\(38 - k = 1\)

\(k = 38 - 1\)

\(k = 37 \in\mathbb{N}\)

2) \(75= 3\cdot25\)

\( \begin{cases} n - k = 3,\\n + k = 25 \end{cases} \)   \((+)\)

\(2n = 28\)

\(n = \frac{28}{2}\)

\(n = 14\in\mathbb{N}\)

\(14 - k = 3\)

\(k = 14 - 3\)

\(k = 11 \in\mathbb{N}\)

3) \(75= 5\cdot15\)

\( \begin{cases} n - k = 5,\\n + k = 15 \end{cases} \)   \((+)\)

\(2n = 20\)

\(n = \frac{20}{2}\)

\(n = 10\in\mathbb{N}\)

\(10 - k = 5\)

\(k = 10 - 5\)

\(k = 5 \in\mathbb{N}\)

4) \(75= 15\cdot5\)

\( \begin{cases} n - k = 15,\\n + k = 5 \end{cases} \)   \((+)\)

\(2n = 20\)

\(n = \frac{20}{2}\)

\(n = 10\in\mathbb{N}\)

\(10 - k = 15\)

\(k = 10 - 15\)

\(k = -5 \notin\mathbb{N}\)

5) \(75= 25\cdot3\)

\( \begin{cases} n - k = 25,\\n + k = 3 \end{cases} \)   \((+)\)

\(2n = 28\)

\(n = \frac{28}{2}\)

\(n = 14\in\mathbb{N}\)

\(14 - k = 25\)

\(k = 14 - 25\)

\(k = -11 \notin\mathbb{N}\)

6) \(75 = 75 \cdot1\)

\( \begin{cases} n - k = 75,\\n + k = 1 \end{cases} \)   \((+)\)

\(2n = 76\)

\(n = \frac{76}{2}\)

\(n = 38\in\mathbb{N}\)

\(38 - k = 75\)

\(k = 38 - 75\)

\(k = -37 \notin\mathbb{N}\)

Ответ: при \(n = 10; 14; 38\).

Пояснения:

1) Поскольку подкоренное выражение должно давать натуральный корень, пусть \(\sqrt{n^2 - 75}=k\in\mathbb{N}\). Тогда согласно определению арифметического квадратного корня:

\( n^2 - 75 = k^2 \)

2) Разность квадратов даёт разложение

\(\,n^2 - k^2 = (n - k)(n + k)\),

что упрощает поиск решений в целых числах.

3) Подбирая натуральные делители числа 75, составляем системы уравнений относительно множителей \(n - k\) и \(n+k\), которые решаем способом сложения.

4) В ответ записываем только те натуральные значения \(n\), при которых \(k\) также является натуральным.

а) \( \sqrt{810\cdot40} = \sqrt{(81\cdot10)\cdot(4\cdot10)} =\)

\(=\sqrt{81\cdot4\cdot100}=\)

\(=\sqrt{81}\cdot\sqrt{4}\cdot\sqrt{100} =\)

\(=9 \cdot 2 \cdot 10 = 180. \)

б)  \( \sqrt{10\cdot250} =\sqrt{10 \cdot (25 \cdot 10)}=\)

\(=\sqrt{25\cdot100} = \sqrt{25}\cdot\sqrt{100} =\)

\(=5 \cdot 10 = 50. \)

в) \( \sqrt{72\cdot32} =\sqrt{(36\cdot2)\,(16\cdot2)}= \)

\(=\sqrt{36\cdot16\cdot4} = \sqrt{36}\cdot\sqrt{16}\cdot\sqrt{4} =\)

\(=6 \cdot 4 \cdot 2 = 48. \)

г) \( \sqrt{8\cdot98} =\sqrt{(4\cdot2)\,(49\cdot2)}= \)

\(=\sqrt{4\cdot49\cdot4} = \sqrt{4}\cdot\sqrt{49}\cdot\sqrt{4} =\)

\(=2 \cdot 7 \cdot 2 = 28. \)

д) \( \sqrt{50\cdot18} =\sqrt{(25\cdot2)\,(9\cdot2)}=\)

\(=\sqrt{25\cdot9\cdot4} =\sqrt{25}\cdot\sqrt{9}\cdot\sqrt{4} =\)

\(=5 \cdot 3 \cdot 2 = 30. \)

е)  \( \sqrt{2{,}5\cdot14{,}4} =\)

\(=\sqrt{(25\cdot0,1)\cdot(144\cdot0,1)}=\)

\(=\sqrt{25\cdot144\cdot0,01} =\)

\(=\sqrt{25}\cdot\sqrt{144}\cdot\sqrt{0,01} =\)

\(=5 \cdot 12 \cdot 0{,}1= 60\cdot0,1 = 6. \)

ж) \( \sqrt{90\cdot6{,}4} =\)

\(=\sqrt{(9\cdot10)\,(64\cdot0{,}1)}=\)

\(=\sqrt{9\cdot64\cdot1} = \sqrt{9}\cdot\sqrt{64} =\)

\(=3 \cdot 8 = 24. \)

з) \( \sqrt{16{,}9\cdot0{,}4} =\)

\(=\sqrt{169\cdot0,1\cdot4\cdot0,1}=\)

\(=\sqrt{169\cdot4\cdot0,01} =\)

\(=\sqrt{169}\cdot\sqrt{4}\cdot\sqrt{0,01} = \)

\(=13 \cdot 2 \cdot 0{,}1 =26 \cdot 0{,}1 = 2{,}6. \)

Пояснения:

Использованные приёмы:

1) Разложение подкоренного выражения на множители так, чтобы каждый из множителей являлся квадратом целого числа.

2) Свойство корня из произведения:

\(\sqrt{a\cdot b\cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\cdot\sqrt{c}.\)

3) Определение арифметического квадратного корня:

если \(x = \sqrt a\), то \(a = x^2\).