Упражнение 485 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\frac{2}{3}\sqrt{72},\,\sqrt{30}\) и \(7\sqrt{2}\)

\(\frac{2}{3}\sqrt{72} = \sqrt{\bigl(\frac{2}{3}\bigr)^2\cdot72} =\)

\(=\sqrt{\frac{4}{\cancel{9}_1}\cdot\cancel{72}  ^8} = \sqrt{32},\)

\(7\sqrt{2} =\sqrt{7^2\cdot2}= \sqrt{49\cdot2} = \sqrt{98}.\)

\(\sqrt{30} < \sqrt{32} < \sqrt{98}\)

В порядке возрастания:

\(\sqrt{30};    \frac{2}{3}\sqrt{72};   7\sqrt{2}.\)

б) \(5\sqrt{\frac{7}{2}},\,\sqrt{17}\) и \(\frac{1}{2}\sqrt{62}\)

\(5\sqrt{\frac{7}{2}} =\sqrt{5^2\cdot\frac{7}{2}}= \sqrt{25\cdot3,5} =\)

\(= \sqrt{87,5},\)

\(\frac{1}{2}\sqrt{62} =\sqrt{(\frac{1}{2})^2\cdot62}= \sqrt{\frac{1}{4}\cdot62} =\)

\(=\sqrt{\frac{62}{4}} =\sqrt{\frac{31}{2}}=\sqrt{15{,}5}.\)

\(\sqrt{15{,}5};     \sqrt{17};     \sqrt{87,5}\)

В порядке возрастания:

\(\frac{1}{2}\sqrt{62} < \sqrt{17} < 5\sqrt{\frac{7}{2}}.\)

в) \(8\sqrt{0{,}2},\,\sqrt{41}\) и \(\frac{2}{5}\sqrt{250}\)

\(8\sqrt{0{,}2} =\sqrt{8^2\cdot0{,}2}= \sqrt{64\cdot0{,}2} = \)

\(=\sqrt{12{,}8},\)

\(\frac{2}{5}\sqrt{250} = \sqrt{(\frac{2}{5})^2\cdot250}=\)

\(=\sqrt{\frac{4}{\cancel{25}_1}\cdot\cancel{250}^{10}} = \sqrt{40}.\)

\(\sqrt{12{,}8} < \sqrt{40} < \sqrt{41}\)

В порядке возрастания:

\(8\sqrt{0{,}2};    \frac{2}{5}\sqrt{250};    \sqrt{41}.\)

г) \(12\sqrt{0{,}5},\,\sqrt{89}\) и \(\frac{3}{4}\sqrt{160}\)

\(12\sqrt{0{,}5} =\sqrt{12^2\cdot0{,}5}= \sqrt{144\cdot0{,}5} =\)

\(=\sqrt{72},\)

\(\frac{3}{4}\sqrt{160} =\sqrt{(\frac{3}{4})^2\cdot160} =\)

\(=\sqrt{\frac{9}{\cancel{16}}\cdot\cancel{160}^{10}} = \sqrt{90}.\)

\(\sqrt{72} < \sqrt{89} < \sqrt{90}\)

В порядке возрастания:

\(12\sqrt{0{,}5} < \sqrt{89} < \tfrac{3}{4}\sqrt{160}.\)

Пояснения:

Используемые приемы:

- Сравнение корней:

\(\sqrt{a} > \sqrt{b}\), если \(a > b\).

- Внесение множителя под знак корня:

\( k\sqrt{a} = \sqrt{k^2\,a}. \)

а) \(\displaystyle y=\frac{\sqrt{x^2}}{x}=\frac{|x|}{x}\),    \(x\neq0\).

\(y=\begin{cases} 1,&x>0,\\ -1,&x<0. \end{cases}\)

б) \(\displaystyle y=\frac{ -2\sqrt{x^2}}{x}=\frac{-2|x|}{x}\),    \(x\neq0\).

\(y=\begin{cases} -2,&x>0,\\ 2,&x<0. \end{cases}\)

в) \(\displaystyle y=x\sqrt{x^2}=x\cdot|x|\)

\(y=\begin{cases} x^2,&x\ge0,\\ -\,x^2,&x<0. \end{cases}\)

\(y=x^2\),   \(x \ge 0\)

\(y=-x^2\),   \(x \le 0\)

г) \(\displaystyle y=-x\sqrt{x^2}=-x\cdot|x|\)

\(y=\begin{cases} -\,x^2,&x\ge0,\\ x^2,&x<0. \end{cases}\)

\(y=-x^2\),   \(x \ge 0\)

\(y=x^2\),   \(x \le 0\)

Пояснения:

Основное правило:

\(\sqrt{x^2}=|x|\) для любого \(x\).

– Определение модуля:

\(|a| = a\), при \(a \ge 0\);

\(|a| = -a\), при \(a \le 0\).

– Функция \(y=\frac{|x|}{x}\) не существует при \(x=0\), так как на нуль делить нельзя, поэтому на графике точки с абсциссой \(x=0\) "выколотые" и график этой функции состоит из двух кусочков (лучей, параллельных оси \(x\)) \(x = 1\) при \(x \ge 0\)  и \(y = -1\) при \(x<0\).

– Функция \(y=\frac{ -2|x|}{x}\) не существует при \(x=0\), так как на нуль делить нельзя, поэтому на графике точки с абсциссой \(x=0\) "выколотые" и график этой функции состоит из двух кусочков (лучей, параллельных оси \(x\)) \(y=-2\) при \(x \ge 0\)  и \(y = 2\) при \(x<0\).

– Функция \(y = x\cdot|x|\) определена при всех значениях \(x\) (выколотых точек нет), графиком является кусочно-заданная парабола:

\(y=x^2\) для \(x\ge0\) и

\(y = -x^2\) для \(x<0\).

– Функция \(y = -x\cdot|x|\) определена при всех значениях \(x\) (выколотых точек нет), графиком является кусочно-заданная парабола:

\(y=-x^2\) для \(x\ge0\) и

\(y = x^2\) для \(x<0\).