Упражнение 489 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\sqrt{6 + 4\sqrt2} = 2 + \sqrt2\)

\(6 + 4\sqrt2 = (2 + \sqrt2)^2\)

\(6 + 4\sqrt2 = 2^2 + 2\cdot2\sqrt2 + (\sqrt2)^2\)

\(6 + 4\sqrt2 = 4 + 4\sqrt2 + 2\)

\(6 + 4\sqrt2 = 6 + 4\sqrt2\)

Что и требовалось доказать.

б) \(\sqrt{8\sqrt3 + 19} = \sqrt3 + 4\)

\(8\sqrt3 + 19 = (\sqrt3 + 4)^2\)

\(8\sqrt3 + 19 = (\sqrt3)^2 + 2\cdot\sqrt3\cdot4 + 4^2\)

\(8\sqrt3 + 19 =3 + 8\sqrt3 + 16\)

\(8\sqrt3 + 19 =8\sqrt3 + 19\)

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Использованные приемы:

- Если \(\sqrt{x} = a\), то \(x = a^2\).

- Квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

- Свойство корня:

\((\sqrt{x})^2 = x\).

а) \(\sqrt{(-a)^2} = |{-a}| = |a|.\)

б) \(\sqrt{(-a)^2\,(-b)^4} =\)

\(=\sqrt{(-a)^2}\,\sqrt{((-b)^2)^2} =\)

\(=|-a|\cdot|b^2| = |a|\,b^2.\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1. \(\sqrt{a^2} = |a|\).

2. \(\sqrt{a\,b} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\).

3. При чётной степени \(n\):

\(\sqrt{b^{2n}} = |b^n|\);

здесь \(\sqrt{(-b)^4}|=b^2\), так как \(b^2\ge0\).