Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№493 учебника 2023-2025 (стр. 112):
Найдите значение выражения:
а) \(\displaystyle \frac{1}{11-2\sqrt{30}}\;-\;\frac{1}{11+2\sqrt{30}};\)
б) \(\displaystyle \frac{5}{3+2\sqrt2}\;+\;\frac{5}{3-2\sqrt2};\)
в) \(\displaystyle \frac{\sqrt5-\sqrt3}{\sqrt5+\sqrt3}\;+\;\frac{\sqrt5+\sqrt3}{\sqrt5-\sqrt3};\)
г) \(\displaystyle \frac{11+\sqrt{21}}{11-\sqrt{21}}\;+\;\frac{11-\sqrt{21}}{11+\sqrt{21}}.\)
№493 учебника 2013-2022 (стр. 114):
Выполните умножение:
а) \(\sqrt{x}(\sqrt{a}-\sqrt{b});\)
б) \((\sqrt{x}+\sqrt{y})\sqrt{x};\)
в) \(\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b});\)
г) \((\sqrt{m}-\sqrt{n})\sqrt{mn};\)
д) \((\sqrt{x}+\sqrt{y})(2\sqrt{x}-\sqrt{y});\)
е) \((\sqrt{a}-\sqrt{b})(3\sqrt{a}+2\sqrt{b});\)
ж) \((2\sqrt{a}+\sqrt{b})(3\sqrt{a}-2\sqrt{b});\)
з) \((4\sqrt{x}-\sqrt{2x})(\sqrt{x}-\sqrt{2x}).\)
№493 учебника 2023-2025 (стр. 112):
Вспомните:
№493 учебника 2013-2022 (стр. 114):
Вспомните:
№493 учебника 2023-2025 (стр. 112):
а) \( \frac{1}{11-2\sqrt{30}} ^{\color{blue}{\backslash{11+2\sqrt{30}}}} - \frac{1}{11+2\sqrt{30}} ^{\color{blue}{\backslash{11-2\sqrt{30}}}} =\)
\(=\frac{(11+2\sqrt{30}) - (11-2\sqrt{30})}{(11-2\sqrt{30})(11+2\sqrt{30})} =\)
\(=\frac{\cancel{11}+2\sqrt{30} - \cancel{11}+2\sqrt{30}}{11^2 - (2\sqrt{30})^2} =\)
\(= \frac{4\sqrt{30}}{121 - 4\cdot30} =\frac{4\sqrt{30}}{121 - 120} =\)
\(=\frac{4\sqrt{30}}{1}=4\sqrt{30}. \)
б) \( \frac{5}{3+2\sqrt2} ^{\color{blue}{\backslash{3-2\sqrt2}}} + \frac{5}{3-2\sqrt2} ^{\color{blue}{\backslash{3+2\sqrt2}}} =\)
\(=\frac{5(3-2\sqrt2)+5(3+2\sqrt2)}{(3+2\sqrt2)(3-2\sqrt2)} =\)
\(=\frac{15-\cancel{10\sqrt2}+15+\cancel{10\sqrt2}}{3^2-(2\sqrt2)^2} =\)
\(=\frac{30}{9 - 4\cdot2}=\frac{30}{9 - 8} =\frac{30}{1}= 30. \)
в) \( \frac{\sqrt5-\sqrt3}{\sqrt5+\sqrt3} ^{\color{blue}{\backslash{\sqrt5-\sqrt3}}} +\frac{\sqrt5+\sqrt3}{\sqrt5-\sqrt3} ^{\color{blue}{\backslash{\sqrt5+\sqrt3}}} =\)
\(=\frac{(\sqrt5-\sqrt3)^2+ (\sqrt5+\sqrt3)^2}{(\sqrt5-\sqrt3)(\sqrt5+\sqrt3)} =\)
\(=\frac{(\sqrt5)^2-2\cdot\sqrt5\cdot\sqrt3 +(\sqrt3)^2+(\sqrt5)^2+2\cdot\sqrt5\cdot\sqrt3 +(\sqrt3)^2}{(\sqrt5)^2-(\sqrt3} =\)
\(=\frac{5-\cancel{2\sqrt{15}} +3+5+\cancel{2\sqrt{15}} +3}{5-3} =\)
\(=\frac{16}{2} = 8\).
г) \( \frac{11+\sqrt{21}}{11-\sqrt{21}} ^{\color{blue}{\backslash{11+\sqrt{21}}}} +\frac{11-\sqrt{21}}{11+\sqrt{21}} ^{\color{blue}{\backslash{11-\sqrt{21}}}} =\)
\( =\frac{(11+\sqrt{21})^2+(11-\sqrt{21})^2}{(11-\sqrt{21})(11+\sqrt{21})} =\)
\( =\frac{11^2+2\cdot11\cdot\sqrt{21} + (\sqrt{21})^2+11^2-2\cdot11\cdot\sqrt{21} + (\sqrt{21})^2}{11^2-(\sqrt{21})^2} =\)
\( =\frac{121+\cancel{22\sqrt{21}} +21+121-\cancel{22\sqrt{21}} + 21}{121 -21} =\)
\(=\frac{284}{100} = 2,84\).
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
1. Для дробей вида \(\frac1{a} \pm \frac1{b}\) удобно брать общий знаменатель \((a b)\) и складывать/вычитать числители.
2. Разность квадратов:
\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).
3. Квадрат суммы и квадрат разности:
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
4. Свойства корня и степени:
\((\sqrt{x})^2 = x\);
\((k\sqrt{x})^2 = k^2x\).
№493 учебника 2013-2022 (стр. 114):
а) \(\sqrt{x}(\sqrt{a}-\sqrt{b})=\sqrt{ax}-\sqrt{bx}.\)
б) \((\sqrt{x}+\sqrt{y})\sqrt{x} =x+\sqrt{xy}.\)
в) \(\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})=\)
\(=\sqrt{a^2b}+\sqrt{ab^2} =a\sqrt{b}+b\sqrt{a}.\)
г) \((\sqrt{m}-\sqrt{n})\sqrt{mn}=\)
\(=\sqrt{m^2n}-\sqrt{mn^2} =m\sqrt{n}-n\sqrt{m}.\)
д) \( (\sqrt{x}+\sqrt{y})(2\sqrt{x}-\sqrt{y})=\)
\(=2x+2\sqrt{xy}-\sqrt{xy}-y =\)
\(=2x+\sqrt{xy}-y.\)
е) \((\sqrt{a}-\sqrt{b})(3\sqrt{a}+2\sqrt{b})=\)
\(=3a+2\sqrt{ab}-3\sqrt{ab}-2b =\)
\(=3a-\sqrt{ab}-2b.\)
ж) \((2\sqrt{a}+\sqrt{b})(3\sqrt{a}-2\sqrt{b})=\)
\(=6a-4\sqrt{ab}+3\sqrt{ab}-2b =\)
\(=6a-\sqrt{ab}-2b.\)
з) \((4\sqrt{x}-\sqrt{2x})(\sqrt{x}-\sqrt{2x})=\)
\(=4x - 4x\sqrt2 - x\sqrt2 +2x=\)
\(=6x - 5x\sqrt2\)
Пояснения:
Основные приёмы:
1. Умножение одночлена на многочлен:
\(a(b+c) = ab + ac\).
2. Умножение многочлена на многочлен:
\((a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd\).
3. Свойства корней:
\(\sqrt{a}\,\sqrt{b}=\sqrt{ab};\)
\(\sqrt{x}\,\sqrt{x}=x.\).
Вернуться к содержанию учебника