Упражнение 498 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{2\sqrt{10}-5}{4-\sqrt{10}} =\)

\(=\frac{2\sqrt{5\cdot2}-(\sqrt{5})^2}{2\cdot(\sqrt2)^2-\sqrt{2\cdot5}}= \)

\(=\frac{\sqrt{5}\cancel{(2\sqrt{2}-\sqrt{5})}}{\sqrt{2}\cancel{(2\sqrt2-\sqrt{5)}}}= \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\)

\(=\sqrt{\frac52}=\sqrt{2,5}\).

б) \( \frac{(\sqrt{10}-1)^2-3}{\sqrt{10}+\sqrt{3}-1} =\)

\(=\frac{(\sqrt{10}-1)^2-(\sqrt{3})^2}{\sqrt{10}-1+\sqrt{3}} =\)

\(=\frac{(\sqrt{10}-1-\sqrt{3})\cancel{(\sqrt{10}-1+\sqrt{3})}}{\cancel{\sqrt{10}-1+\sqrt{3}}} =\)

\(=\sqrt{10}-1-\sqrt{3}\).

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

1. Свойства корня:

\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}{b}\);

\((\sqrt{x})^2 = x\);

\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = {\sqrt\frac{a}{b}}\).

2. Вынесение общего множителя за скобки (пункт а):

\(ac + bc = c(a + b)\).

3. Разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\)

4. После разложения на множители в числителе и знаменателе одинаковые множители сокращаются.

\(\frac{ma}{mb} = \frac{a}{b}\).

1) \( \sqrt{7+4\sqrt3}+\sqrt{7-4\sqrt3} =\)

\( =\sqrt{4+4\sqrt3 + 3} +\sqrt{4-4\sqrt3 + 3} =\)

\( =\sqrt{2^2+2\cdot2\cdot\sqrt3 + (\sqrt3)^2} +\sqrt{2^2-2\cdot2\cdot\sqrt3 + (\sqrt3)^2} =\)

\(=\sqrt{(\,2+\sqrt3\,)^2} + \sqrt{(\,2-\sqrt3\,)^2} =\)

\(=|2+\sqrt3|+|2-\sqrt3| = \)

\(=2+\cancel{\sqrt3}+2-\cancel{\sqrt3} =4 \) - натуральное число.

2) \( \sqrt{7+4\sqrt3}\,\cdot\sqrt{7-4\sqrt3} =\)

\( =\sqrt{4+4\sqrt3 + 3} \cdot\sqrt{4-4\sqrt3 + 3} =\)

\( =\sqrt{2^2+2\cdot2\cdot\sqrt3 + (\sqrt3)^2} \cdot\sqrt{2^2-2\cdot2\cdot\sqrt3 + (\sqrt3)^2} =\)

\(=\sqrt{(\,2+\sqrt3\,)^2}\cdot\sqrt{(\,2-\sqrt3\,)^2} =\)

\(=|2+\sqrt3|\cdot|2-\sqrt3| =\)

\(=(2+\sqrt3)(2-\sqrt3) =\)

\(=2^2 - (\sqrt3)^2=4-3 =1\) - натуральное число.

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1. Квадрат суммы:

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

2. Квадрат разности:

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

3. Свойства корня:

\((\sqrt{x})^2 = x\);

\(\sqrt{a^2}=|a|=a\) при \(a\ge0\);

\(\sqrt{a^2}=|a|=-a\) при \(a\le0\).

При раскрытии модуля в рассматриваемых случаях учитываем то, что \( 2>\sqrt3\).

4. Разность квадратов:

\((a - b)(a+b) = a^2 - b^2\).