Упражнение 499 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}} =\frac{(1+\sqrt{a})\cdot\sqrt{a}}{\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}} =\)

\(=\frac{\sqrt{a}+a}{a}. \)

б) \( \frac{x-\sqrt{a x}}{a\sqrt{x}} =\frac{(x-\sqrt{ax})\cdot\sqrt{x}}{a\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}} =\)

\(=\frac{x\sqrt{x}-x\sqrt{a}}{ax} =\frac{\cancel x(\sqrt{x}-\sqrt{a})}{a\cancel x} =\)

\(=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{a}. \)

в) \( \frac{2\sqrt{3}-3}{5\sqrt{3}} =\frac{(2\sqrt{3}-3)\cdot\sqrt{3}}{5\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} =\)

\(=\frac{2\cdot3-3\sqrt{3}}{5\cdot3} =\frac{6-3\sqrt{3}}{15} =\)

\(=\frac{\cancel3(2-\sqrt{3})}{\cancel{15}_5} =\frac{2-\sqrt{3}}{5}. \)

Пояснения:

Использованные приёмы и правила:

- Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножают числитель и знаменатель на подходящий корень, тем самым в знаменателе получается произведение корня на себя, равное подкоренному выражению.

- Свойства корня:

\(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = x\);

\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}\).

- Вынесение общего множителя за скобки:

\(ac+bc = c(a+b)\).

- Сокращение дробей:

\(\frac{ka}{kb} = \frac{a}{b}\).

а) \( \frac{1}{3\sqrt2 - 5} ^{\color{blue}{\backslash{3\sqrt2 + 5}}} - \frac{1}{3\sqrt2 + 5} ^{\color{blue}{\backslash{3\sqrt2 - 5}}} \)

\(= \frac{(3\sqrt2+5) - (3\sqrt2-5)}{(3\sqrt2-5)(3\sqrt2+5)}= \)

\(= \frac{\cancel{3\sqrt2}+5 - \cancel{3\sqrt2}+5}{(3\sqrt2)^2-5^2} =\)

\(= \frac{10}{9\cdot2-25} =\frac{10}{18-25} =\)

\(=\frac{10}{-7}=\frac{-10}{7}\) - рациональное число.

б) \( \frac{1}{7 + 2\sqrt6} ^{\color{blue}{\backslash{7 - 2\sqrt6}}} + \frac{1}{7 - 2\sqrt6} ^{\color{blue}{\backslash{7 + 2\sqrt6}}}\)

\(=\frac{(7 - 2\sqrt6) + (7 + 2\sqrt6)}{(7 + 2\sqrt6)(7 - 2\sqrt6)}= \)

\(=\frac{7 - \cancel{2\sqrt6} + 7 + \cancel{2\sqrt6}}{7^2 - (2\sqrt6)^2}= \)

\(=\frac{14}{49 - 4\cdot6}=\frac{14}{49 - 24}=\)

\( =\frac{14}{25} \) - рациональное число.

Пояснения:

Число, которое можно записать в виде отношения \(\frac{m}{n}\), где \(m\) - целое число, а \(n\) - натуральное число, называют рациональным числом.

Использованные правила и приёмы:

1. Для дробей вида \(\frac1{a} \pm \frac1{b}\) удобно брать общий знаменатель \((a b)\) и складывать/вычитать числители.

2. Разность квадратов:

\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).

3. Раскрытие скобок:

\(a + (b + c) = a + b + c\);

\(a - (b + c) = a - b - c\).

4. Свойства корня и степени:

\((\sqrt{x})^2 = x\);

\((k\sqrt{x})^2 = k^2x\).