Упражнение 503 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{1}{\sqrt2+\sqrt3+1}=\)

\(= \frac{1\cdot(\sqrt2+\sqrt3-1)}{(\sqrt2+\sqrt3+1)(\sqrt2+\sqrt3-1)}=\)

\(= \frac{\sqrt2+\sqrt3-1}{(\sqrt2+\sqrt3)^2-1^2}=\)

\(= \frac{\sqrt2+\sqrt3-1}{(\sqrt2)^2+2\cdot\sqrt2\cdot\sqrt3+(\sqrt3)^2-1}=\)

\(= \frac{\sqrt2+\sqrt3-1}{2+2\sqrt6+3-1}=\)

\(= \frac{\sqrt2+\sqrt3-1}{4+2\sqrt6}=\)

\(= \frac{\sqrt2+\sqrt3-1}{2(2+\sqrt6)}=\)

\(= \frac{(\sqrt2+\sqrt3-1)(2-\sqrt6)}{2(2+\sqrt6)(2-\sqrt6)}=\)

\(= \frac{2\sqrt2+2\sqrt3-2-\sqrt{12}-\sqrt{18} + \sqrt6}{2(2^2-(\sqrt6)^2)}=\)

\(= \frac{2\sqrt2+2\sqrt3-2-\sqrt{4\cdot3}-\sqrt{9\cdot2} + \sqrt6}{2(4-6)}=\)

\(= \frac{2\sqrt2+\cancel{2\sqrt3}-2-\cancel{2\sqrt{3}}-3\sqrt{2} + \sqrt6}{2\cdot(-2)}=\)

\(= \frac{-\sqrt2-2 + \sqrt6}{-4}=\)

\(= \frac{-(\sqrt2+2 - \sqrt6)}{-4}=\)

\(= \frac{\sqrt2+2 - \sqrt6}{4}\)

б) \( \frac{1}{\sqrt5-\sqrt3+2}=\)

\(= \frac{1\cdot(\sqrt5-\sqrt3-2)}{(\sqrt5-\sqrt3+2)(\sqrt5-\sqrt3-2)}=\)

\(= \frac{\sqrt5-\sqrt3-2}{(\sqrt5-\sqrt3)^2-2^2}=\)

\(= \frac{\sqrt5-\sqrt3-2}{(\sqrt5)^2-2\cdot\sqrt5\cdot\sqrt3 +(\sqrt3)^2-4}=\)

\(= \frac{\sqrt5-\sqrt3-2}{5-2\sqrt{15} +3-4}=\)

\(= \frac{\sqrt5-\sqrt3-2}{4-2\sqrt{15} }=\frac{\sqrt5-\sqrt3-2}{2(2-\sqrt{15}) }=\)

\(=\frac{(\sqrt5-\sqrt3-2)(2+\sqrt{15})}{2(2-\sqrt{15})(2+\sqrt{15}) }=\)

\(=\frac{2\sqrt5-2\sqrt3-4+\sqrt{75}-\sqrt{45}-2\sqrt{15}}{2(2^2-(\sqrt{15})^2) }=\)

\(=\frac{2\sqrt5-2\sqrt3-4+\sqrt{25\cdot3}-\sqrt{9\cdot5}-2\sqrt{15}}{2(4-15) }=\)

\(=\frac{2\sqrt5-2\sqrt3-4+5\sqrt{3}-3\sqrt{5}-2\sqrt{15}}{2\cdot(-11) }=\)

\(=\frac{-\sqrt{5}+3\sqrt3-2\sqrt{15}-4}{-22 }=\)

\(=\frac{-(\sqrt{5}-3\sqrt3+2\sqrt{15}+4)}{-22 }=\)

\(=\frac{\sqrt{5}-3\sqrt3+2\sqrt{15}+4}{22 }\)

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

1. Чтобы избавиться от иррациональности (корней) в знаменателе, умножают числитель и знаменатель на такое выражение, которое вместе с выражением, стоящим в знаменателе, образует разность квадратов:

\((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\);

\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\).

2. Квадрат суммы и квадрат разности:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

3. Свойства корня:

\( \sqrt{a}{b}=\sqrt{ab}\);

\((\sqrt{x})^2 = x\).

4. Свойство дроби:

\(\frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}\).

а) \( \frac{\sqrt{70}-\sqrt{30}}{\sqrt{35}-\sqrt{15}} =\)

\(=\frac{\sqrt{2\cdot35}-\sqrt{2\cdot15}}{\sqrt{35}-\sqrt{15}} \)

\(=\frac{\sqrt{2}\cancel{\bigl(\sqrt{35}-\sqrt{15}\bigr)}}{\cancel{\sqrt{35}-\sqrt{15}}} =\sqrt{2}. \)

б) \( \frac{\sqrt{15}-5}{\sqrt{6}-\sqrt{10}} =\)

\(=\frac{\sqrt{3\cdot5}-(\sqrt5)^2}{\sqrt{2\cdot3}-\sqrt{2\cdot5}} =\)

\(=\frac{\sqrt{5}(\sqrt{3}-\sqrt{5})}{\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{5})} =\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} =\)

\(=\sqrt{\frac{5}{2}} = \sqrt{2,5}. \)

в) \( \frac{2\sqrt{10}-5}{4-\sqrt{10}} =\)

\(=\frac{2\sqrt{5\cdot2}-(\sqrt{5})^2}{2\cdot(\sqrt2)^2-\sqrt{2\cdot5}}= \)

\(=\frac{\sqrt{5}\cancel{(2\sqrt{2}-\sqrt{5})}}{\sqrt{2}\cancel{(2\sqrt2-\sqrt{5)}}}= \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\)

\(=\sqrt{\frac52}=\sqrt{2,5}\).

г) \( \frac{9-2\sqrt3}{3\sqrt6-2\sqrt2} =\)

\(=\frac{3\cdot(\sqrt3)^2-2\sqrt3}{3\sqrt{3\cdot2}-2\sqrt2}=\)

\(=\frac{\sqrt3(3\sqrt3-2)}{\sqrt2(3\sqrt{3}-2)}=\)

\(=\frac{{\sqrt3}}{\sqrt2} =\sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{1,5}\)

д) \( \frac{2\sqrt3+3\sqrt2-\sqrt6}{2+\sqrt6-\sqrt2} = \)

\( =\frac{(\sqrt2)^2\cdot\sqrt3+(\sqrt3)^2\sqrt2-\sqrt2\cdot\sqrt3}{(\sqrt2)^2+\sqrt{2\cdot3}-\sqrt2} = \)

\( =\frac{\cancel{\sqrt2}\sqrt3\cancel{(\sqrt2+\sqrt3-1)}}{\cancel{\sqrt2}\cancel{(\sqrt2+\sqrt3-1)}} =\sqrt3 \)

е) \( \frac{(\sqrt{10}-1)^2-3}{\sqrt{10}+\sqrt{3}-1} =\)

\(=\frac{(\sqrt{10}-1)^2-(\sqrt{3})^2}{\sqrt{10}-1+\sqrt{3}} =\)

\(=\frac{(\sqrt{10}-1-\sqrt{3})\cancel{(\sqrt{10}-1+\sqrt{3})}}{\cancel{\sqrt{10}-1+\sqrt{3}}} =\)

\(=\sqrt{10}-1-\sqrt{3}\).

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

1. Свойства корня:

\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}{b}\);

\((\sqrt{x})^2 = x\);

\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = {\sqrt\frac{a}{b}}\).

2. Вынесение общего множителя за скобки:

\(ac + bc = c(a + b)\).

3. Разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\)

4. После разложения на множители в числителе и знаменателе одинаковые множители сокращаются.

\(\frac{ma}{mb} = \frac{a}{b}\).