Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№505 учебника 2023-2025 (стр. 114):
Упростите выражение:
а) \(15\sqrt{\frac{2}{5}} - \sqrt{160};\)
б) \(\sqrt{135} + 10\sqrt{0{,}6};\)
в) \(6\sqrt{1\frac{1}{3}} - \sqrt{27};\)
г) \(0{,}5\sqrt{24} + 10\sqrt{\frac{3}{8}}.\)
№505 учебника 2013-2022 (стр. 115):
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) \(\displaystyle \frac{x - \sqrt{x\,y} + y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}};\)
б) \(\displaystyle \frac{9 + 3\sqrt{a} + a}{3 + \sqrt{a}};\)
в) \(\displaystyle \frac{1 - 2\sqrt{x} + 4x}{1 - 2\sqrt{x}};\)
г) \(\displaystyle \frac{\,a^2b+2a\sqrt{b}+4}{a\sqrt{b}+2}.\)
№505 учебника 2023-2025 (стр. 114):
Вспомните:
№505 учебника 2013-2022 (стр. 115):
Вспомните:
№505 учебника 2023-2025 (стр. 114):
а) \(15\sqrt{\frac{2}{5}} - \sqrt{160}=\)
\(=\sqrt{15^2\cdot\frac{2}{5}}- \sqrt{160}=\)
\(=\sqrt{\frac{^{45}\cancel{225}\cdot2}{\cancel5}} - \sqrt{160}=\)
\(=\sqrt{90} - \sqrt{160}=\sqrt{9\cdot10} - \sqrt{16\cdot10}=\)
\(=3\sqrt{10} - 4\sqrt{10}=-\sqrt{10}\)
б) \(\sqrt{135} + 10\sqrt{0{,}6}=\)
\(=\sqrt{135} + \sqrt{10^2\cdot0{,}6}=\)
\(=\sqrt{135} + \sqrt{100\cdot0{,}6}=\)
\(=\sqrt{135} + \sqrt{60}=\sqrt{9\cdot15} + \sqrt{4\cdot15}=\)
\(=3\sqrt{15} + 2\sqrt{15}=5\sqrt{15}\)
в) \(6\sqrt{1\frac{1}{3}} - \sqrt{27}=\)
\(=\sqrt{^{12}\cancel{36}\cdot\frac{4}{\cancel3}} - \sqrt{27}=\)
\(=\sqrt{48} -\sqrt{27}=\sqrt{16\cdot3} -\sqrt{9\cdot3}=\)
\(=4\sqrt{3} - 3\sqrt{3}=\sqrt{3}\)
г) \(0{,}5\sqrt{24} + 10\sqrt{\frac{3}{8}}=\)
\(=\sqrt{0,5^2\cdot24} + \sqrt{10^2\cdot\frac{3}{8}}=\)
\(=\sqrt{0,25\cdot24} + \sqrt{100\cdot\frac{3}{8}}=\)
\(=\sqrt{6} + \sqrt{^{25}\cancel{100}\cdot\frac{3}{\cancel8_2}}=\)
\(=\sqrt{4\cdot1,5} + \sqrt{25\cdot1,5}=\)
\(=2\sqrt{1,5} + 5\sqrt{1,5}=7\sqrt{1,5}\)
Пояснения:
Использованные приемы:
1. Внесения множителя под знак корня:
\( k\sqrt{a} = \sqrt{k^2\,a}. \)
2. Вынесение множителя из-под знака корня:
\(\sqrt{m^2n}=m\sqrt{n}\);
3. Приведение подобных:
\(a\sqrt{b} \pm c\sqrt{b}=(a\pm c)\sqrt{b}\).
№505 учебника 2013-2022 (стр. 115):
а) \( \frac{x - \sqrt{xy} + y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} =\)
\(=\frac{(x - \sqrt{xy} + y)(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})} =\)
\(=\frac{(\sqrt{x})^3+(\sqrt{y})^3}{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2}=\)
\(=\frac{(\sqrt{x})^2\sqrt{x}+(\sqrt{y})^2\sqrt{y}}{x - y}= \)
\(=\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{x - y}\).
б) \( \frac{9 + 3\sqrt{a} + a}{3 + \sqrt{a}} =\)
\(=\frac{(9 + 3\sqrt{a} + a)(3 - \sqrt{a})}{(3 + \sqrt{a})(3 - \sqrt{a})} =\)
\(=\frac{3^3 - (\sqrt{a})^3}{3^2 - (\sqrt{a})^2}=\)
\(=\frac{27 - (\sqrt{a})^2\cdot\sqrt{a}}{9 - a}= \)
\(=\frac{27 - a\sqrt{a}}{9 - a} \).
в) \( \frac{1 - 2\sqrt{x} + 4x}{1 - 2\sqrt{x}}= \)
\(=\frac{(1 - 2\sqrt{x} + 4x)(1 + 2\sqrt{x})}{(1 - 2\sqrt{x})(1 + 2\sqrt{x})} =\)
\(=\frac{1^3 + (2\sqrt{x})^3}{1 - 4x}=\frac{1 + 8(\sqrt{x})^3}{1 - 4x}= \)
\(=\frac{1 + 8(\sqrt{x})^2\sqrt{x}}{1 - 4x}= \frac{1 + 8x\sqrt{x}}{1 - 4x}\).
г) \( \frac{a^2b+2a\sqrt{b}+4}{a\sqrt{b}+2}=\)
\( =\frac{(a^2b+2a\sqrt{b}+4)(a\sqrt{b}-2)}{(a\sqrt{b}+2)(a\sqrt{b}-2)}=\)
\( =\frac{(a\sqrt{b})^3-2^3}{(a\sqrt{b})^2-2^2}=\frac{a^3(\sqrt{b})^3-8}{a^2(\sqrt{b})^2-4}=\)
\(=\frac{a^3(\sqrt{b})^2\sqrt b-8}{a^2b-4}=\frac{a^3b\sqrt b-8}{a^2b-4}\)
Пояснения:
Использованные приёмы и формулы:
1. Чтобы избавиться от иррациональности (корней) в знаменателе, умножают числитель и знаменатель на такое выражение, которое вместе с выражением, стоящим в знаменателе, образует разность квадратов:
\((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\);
\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\).
2. Сумма и разность кубов двух выражений:
\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\);
\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\).
3. Свойства корня:
\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}{b}\);
\((\sqrt{x})^2 = x\);
\(k\sqrt{k}=(\sqrt{k})^3\).
4. Свойство степени:
\((ab)^n = a^nb^n\).
Вернуться к содержанию учебника