Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№497 учебника 2023-2025 (стр. 113):
Сократите дробь:
а) \(\displaystyle \frac{\sqrt{70}-\sqrt{30}}{\sqrt{35}-\sqrt{15}};\)
б) \(\displaystyle \frac{\sqrt{15}-5}{\sqrt{6}-\sqrt{10}};\)
в) \(\displaystyle \frac{9-2\sqrt3}{3\sqrt6-2\sqrt2};\)
г) \(\displaystyle \frac{2\sqrt3+3\sqrt2-\sqrt6}{2+\sqrt6-\sqrt2}.\)
№497 учебника 2013-2022 (стр. 114):
Найдите значение выражения:
а) \(x^2 - 6\) при \(x = 1 + \sqrt{5}\);
б) \(x^2 - 6x\) при \(x = 3 - \sqrt{3}\);
в) \(x^2 - 4x + 3\) при \(x = 2 + \sqrt{3}\);
г) \(x^2 - 3x + 5\) при \(x = \dfrac{3 + \sqrt{2}}{2}\).
№497 учебника 2023-2025 (стр. 113):
Вспомните:
№497 учебника 2013-2022 (стр. 114):
Вспомните:
№497 учебника 2023-2025 (стр. 113):
а) \( \frac{\sqrt{70}-\sqrt{30}}{\sqrt{35}-\sqrt{15}} =\)
\(=\frac{\sqrt{2\cdot35}-\sqrt{2\cdot15}}{\sqrt{35}-\sqrt{15}} \)
\(=\frac{\sqrt{2}\cancel{\bigl(\sqrt{35}-\sqrt{15}\bigr)}}{\cancel{\sqrt{35}-\sqrt{15}}} =\sqrt{2}. \)
б) \( \frac{\sqrt{15}-5}{\sqrt{6}-\sqrt{10}} =\)
\(=\frac{\sqrt{3\cdot5}-(\sqrt5)^2}{\sqrt{2\cdot3}-\sqrt{2\cdot5}} =\)
\(=\frac{\sqrt{5}(\sqrt{3}-\sqrt{5})}{\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{5})} =\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} =\)
\(=\sqrt{\frac{5}{2}} = \sqrt{2,5}. \)
в) \( \frac{9-2\sqrt3}{3\sqrt6-2\sqrt2} =\)
\(=\frac{3\cdot(\sqrt3)^2-2\sqrt3}{3\sqrt{3\cdot2}-2\sqrt2}=\)
\(=\frac{\sqrt3(3\sqrt3-2)}{\sqrt2(3\sqrt{3}-2)}=\)
\(=\frac{{\sqrt3}}{\sqrt2} =\sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{1,5}\)
г) \( \frac{2\sqrt3+3\sqrt2-\sqrt6}{2+\sqrt6-\sqrt2} = \)
\( =\frac{(\sqrt2)^2\cdot\sqrt3+(\sqrt3)^2\sqrt2-\sqrt2\cdot\sqrt3}{(\sqrt2)^2+\sqrt{2\cdot3}-\sqrt2} = \)
\( =\frac{\cancel{\sqrt2}\sqrt3\cancel{(\sqrt2+\sqrt3-1)}}{\cancel{\sqrt2}\cancel{(\sqrt2+\sqrt3-1)}} =\sqrt3 \)
Пояснения:
Использованные приёмы и формулы:
1. Свойства корня:
\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}{b}\);
\((\sqrt{x})^2 = x\);
\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = {\sqrt\frac{a}{b}}\).
2. Вынесение общего множителя за скобки:
\(ac + bc = c(a + b)\).
3. После разложения на множители в числителе и знаменателе одинаковые множители сокращаются.
\(\frac{ma}{mb} = \frac{a}{b}\).
№497 учебника 2013-2022 (стр. 114):
а) \(x^2 - 6\)
Если \(x = 1 + \sqrt{5}\), то
\((1+\sqrt5)^2 - 6 =\)
\(=1^2 + 2\cdot\sqrt5\cdot1 + (\sqrt5)^2 - 6= \)
\(=1 + 2\sqrt5 + 5 - 6 = 2\sqrt5.\)
б) \(x^2 - 6x\)
Если \(x = 3 - \sqrt{3}\), то
\((3-\sqrt3)^2 - 6(3-\sqrt3) =\)
\(=3^2 - 2\cdot3\cdot\sqrt3 + (\sqrt3)^2 - 18 + 6\sqrt3 =\)
\(=9 - \cancel{6\sqrt3} + 3 - 18 + \cancel{6\sqrt3} =\)
\(=9 + 3 - 18 = -6.\)
в) \(x^2 - 4x + 3\)
Если \(x = 2 + \sqrt{3}\), то
\((2+\sqrt3)^2 - 4(2+\sqrt3) + 3 = \)
\(=2^2 + 2\cdot2\cdot\sqrt3 + (\sqrt3)^2 - 8 - 4\sqrt3 + 3 =\)
\(=4 + \cancel{4\sqrt3} + 3 - 8 - \cancel{4\sqrt3} + 3 =\)
\(=4+3 - 8 + 3 = 2.\)
г) \(x^2 - 3x + 5\)
Если \(x = \dfrac{3 + \sqrt{2}}{2}\), то
\(\Bigl(\frac{3+\sqrt2}2\Bigr)^2 - 3\cdot\frac{3+\sqrt2}2 + 5 =\)
\(=\frac{(3+\sqrt2)^2}{2^2} - \frac{3\cdot(3+\sqrt2)}2 + 5 =\)
\(=\frac{3^2 + 2\cdot3\cdot\sqrt2 +(\sqrt2)^2}4 - \frac{9+3\sqrt2}2 + 5 =\)
\(=\frac{9 + 6\sqrt2 +2}4 - \frac{9+3\sqrt2}2 ^{\color{blue}{\backslash2}} + 5 ^{\color{blue}{\backslash4}} =\)
\(=\frac{(11 + 6\sqrt2) -2(9 + 3\sqrt2) +20}4 = \)
\(=\frac{11 + \cancel{6\sqrt2} -18 -\cancel{6\sqrt2} +20}4 =\)
\(=\frac{13}4 = 3\frac{1}4 = 3,25.\)
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
1. Квадрат суммы:
\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
2. Квадрат разности:
\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
3. Свойство корня:
\((\sqrt{x})^2 = x\).
4. Свойство степени:
\((\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}\).
5. Распределительное свойство умножения:
\(a(b+c) = ab + ac\).
Вернуться к содержанию учебника