Упражнение 488 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( x - 4\sqrt{x-1} + 3 =\)

\( =x - 1 - 4\sqrt{x-1} + 3 + 1 =\)

\(=(\sqrt{x-1})^2 - 4\sqrt{x-1} + 4 =\)

\(=(\sqrt{x-1})^2 - 2\cdot2\sqrt{x-1} + 2^2 =\)

\(=\bigl(\sqrt{x-1} - 2\bigr)^2. \)

б) \( y + 2\sqrt{y+2} + 3 =\)

\( y + 2 + 2\sqrt{y+2} + 3 - 2 =\)

\(=(\sqrt{y+2})^2 + 2\sqrt{y+2} + 1 =\)

\(=(\sqrt{y+2})^2 + 2\cdot1\sqrt{y+2} + 1^2 =\)

\(=\bigl(\sqrt{y+2} + 1\bigr)^2. \)

Пояснения:

Использованные формулы:

1. Квадрат разности:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

2. Квадрат суммы:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

3. При преобразовании выражений учитываем то, что значение выражения не изменяется, если к нему прибавить и вычесть одно и то же число.

4. Свойства корня:

\((\sqrt{a})^2 = a\).

1) \(\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1}\)

Пусть \(n=1\), тогда

\(\sqrt{1\cdot(1+1)\cdot(1+2)\cdot(1+3)+1}=\)

\(=\sqrt{1\cdot2\cdot3\cdot4+1}=\sqrt{24+1}=\)

\(=\sqrt{25}=5\) - натуральное число.

2) \(\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1}=\)

\(=\sqrt{n(n+3)(n+1)(n+2)+1}=\)

\(=\sqrt{(n^2+3n)(n^2 + 3n+2)+1}\)

Пусть \(n^2+3n = a\), тогда

\(\sqrt{x(x+2)+1}=\)

\(=\sqrt{x^2 + 2x + 1} =\)

\(=\sqrt{(x + 1)^2} =|x+1|= \)

\(=x+1=n^2 + 3n+1\) - натуральное число, так как \(n\) - натуральное число.

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

– Группировка множителей:

\(n(n+1)(n+2)(n+3) =\)

\(=(n(n+3))\cdot((n+1)(n+2))\),

то есть группируем крайние и средние множители.

– Для упрощения преобразований вводим замену: \(n^2+3n = a\).

– Квадрат суммы двух выражений:

\(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\).

– Свойство корня:

\(\sqrt{(a+1)^2}=|a+1| = a+1\)

для \(a+1>0\).

Выполнив обратно подстановку вместо \(a\) выражения \(n^2+3n\), получаем то, что выражение \(n^2+3n+1\) при любом натуральном \(n\) всегда является натуральным числом.