Упражнение 511 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(5x^2 - 9x + 4 = 0\)

\(a = 5,\; b = -9,\; c = 4.\)

б) \(x^2 + 3x - 10 = 0\) - приведенное уравнение.

\(a = 1,\; b = 3,\; c = -10.\)

в) \(-x^2 - 8x + 1 = 0\)

\(a = -1,\; b = -8,\; c = 1.\)

г) \(x^2 + 5x = 0\) - приведенное уравнение.

\(a = 1,\; b = 5,\; c = 0.\)

д) \(6x^2 - 30 = 0\)

\(a = 6,\; b = 0,\; c = -30.\)

е) \(9x^2 = 0\).

\(a = 9,\; b = 0,\; c = 0.\)

Пояснения:

1. Полное квадратное уравнение имеет следующий вид:

\(ax^2 + bx + c = 0\),

где \(a\), \(b\) и \(c\) - числовые коэффициенты.

2. Уравнение называется приведённым, если \(a = 1\).

\(\sqrt{\,b + 49 - 14\sqrt{b}\,}+\sqrt{\,b + 49 + 14\sqrt{b}}=\)

\(=\sqrt{(\sqrt b)^2 - 2 \cdot\sqrt{b} \cdot7 + 7^2}+\sqrt{(\sqrt b)^2 + 2 \cdot\sqrt{b} \cdot7 + 7^2}=\)

\( =\sqrt{\bigl(\sqrt{b}-7\bigr)^2} + \sqrt{\bigl(\sqrt{b}+7\bigr)^2} =\)

\(= \bigl|\sqrt{b}-7\bigr| + \bigl|\sqrt{b}+7\bigr|. \)

\(0\le b\le49\) тогда \(0\le\sqrt{b}\le7\), значит

\( \bigl|\sqrt{b}-7\bigr| + \bigl|\sqrt{b}+7\bigr| =\)

\(=-(\sqrt{b}-7) + (\sqrt{b}+7) =\)

\(= 7-\cancel{\sqrt{b}} + \cancel{\sqrt{b}}+7 = 14 \) - не зависит от \(b\) при \(0\le b\le49\).

Пояснения:

Использованные формулы:

1. Квадрат разности:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

2. Квадрат суммы:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

3. Свойство корня:

\((\sqrt x)^2 = x\).

4. Противоположные выражения:

\(a - b = -(b-a)\).

5. Свойство корня:

\(\sqrt{a^2} = |a| = a\), если \(a\ge0\);

\(\sqrt{a^2} = |a| = -a\), если \(a<0\).

6. По условию \(0\le b\le49\) тогда

\(0\le\sqrt{b}\le7\), поэтому:

\( \sqrt{b}-7 < 0\), значит

\(|\sqrt{b}-7| = -(\sqrt{b}-7) = 7 - \sqrt{b}\);

\( \sqrt{b}+7 \ge 0\), значит

\(|\sqrt{b}+7| = \sqrt{b}+7.\)