Упражнение 536 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( x^2 - 6x = 5x - 18 \)

\( x^2 - 6x - 5x + 18 = 0\)

\( x^2 - 11x + 18 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b = -11\),  \(c = 18\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-11)^2 - 4\cdot1\cdot18 =\)

\(=121 - 72 = 49 \);     \(\sqrt{D} = 7\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-11) + 7}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{18}{2} = 9\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-11) - 7}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{4}{2} = 2\).

Ответ: при \( x_1 = 9\) и \( x_2 = 2\).

б) \( 3x^2 - 4x + 3 = x^2 + x + 1 \)

\( 3x^2 - 4x + 3 - x^2 - x - 1=0 \)

\( 2x^2 - 5x + 2 = 0 \)

\(a = 2\),  \(b = -5\),  \(c = 2\)

\(D =b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4\cdot2\cdot2 =\)

\(=25 - 16 = 9\);    \(\sqrt{D} = 3\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-5) + 3}{2\cdot2} =\)

\(=\frac{8}{4} = 2\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-5) - 3}{2\cdot2} =\)

\(=\frac{2}{4} = 0,5\).

Ответ: при \(x_1 = 2\) и \(x_2 =0,5\).

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

1. В каждом случае по условию составили уравнение, затем все слагаемые из правой части уравнения перенесли в левую, изменив их знаки на противоположные, и привели подобные слагаемые в левой части уравнения, в результате чего получилось полное квадратное уравнение.

2. Количество корней полного квадратного уравнения

\(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

а) \(5x^2 - 11x + 2 = 0\)

\(a = 5\),  \(b = -11\),  \(c = 2\)

\(D =b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4\cdot5\cdot2 =\)

\(=121 - 40 = 81\),     \(\sqrt D = 9\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-11) + 9}{2\cdot5} =\)

\(=\frac{20}{10} = 2\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-11) - 9}{2\cdot5} =\)

\(=\frac{2}{10} = 0,2\).

Ответ: \( x_1 = 2\); \(x_2 = 0,2\).

б) \(2p^2 + 7p - 30 = 0\)

\(a = 2\),  \(b = 7\),  \(c = -30\)

\(D =b^2 - 4ac =7^2 - 4\cdot2\cdot(-30) =\)

\(=49 + 240 = 289\),    \(\sqrt D = 17\).

\( p_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-7 + 17}{2\cdot2} =\)

\(=\frac{10}{4} = 2{,}5\).

\( p_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-7 - 17}{2\cdot2} =\)

\( = \frac{-24}{4} = -6. \)

Ответ: \( p_1 = 2,5\),  \( p_2 = - 6\).

в) \(9y^2 - 30y + 25 = 0\)

\(a = 9\),  \(b = -30\),  \(c = 25\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-30)^2 - 4\cdot9\cdot25 =\)

\(=900 - 900 = 0\),

\( y = -\frac{b}{2a}= -\frac{-30}{2\cdot9} = \frac{30}{18} =\)

\(=\frac{5}{3}=1\frac{2}{3} \).

Ответ: \(y = 1\frac{2}{3}.\)

г) \(35x^2 + 2x - 1 = 0\)

\(a = 35\),  \(b = 2\),  \(c = -1\)

\(D =b^2 - 4ac =2^2 - 4\cdot35\cdot(-1) =\)

\(=4 + 140 = 144\),    \(\sqrt D = 12\).

\( x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-2 + 12}{2\cdot35} =\)

\(=\frac{10}{70} = \frac{1}{7}\).

\( x_2 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-2 - 12}{2\cdot35}=\)

\(=\frac{-14}{70} = -\frac{1}{5} = -0,2. \)

Ответ: \( x_1 =\frac{1}{7}\),  \( x_2 =-0,2\).

д) \(2y^2 - y - 5 = 0\)

\(a = 2\),  \(b = -1\),  \(c = -5\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-1)^2 - 4·2·(-5) = \)

\(=1 + 40 = 41\),    \(\sqrt D = \sqrt{41}\).

\( y_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\)

\(=\frac{-(-1) + \sqrt{41}}{2\cdot2} =\)

\(=\frac{1 + \sqrt{41}}{4} \).

\( y_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-1) - \sqrt{41}}{2\cdot2} =\)

\(=\frac{1 - \sqrt{41}}{4} \).

Ответ: \( y_1 =\frac{1 + \sqrt{41}}{4} \), 

\(y_2=\frac{1 - \sqrt{41}}{4} \).

е) \(16x^2 - 8x + 1 = 0\)

\(a = 16\),  \(b = -8\),  \(c = 1\)

\(D =b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4\cdot16\cdot1 =\)

\(=64 - 64 = 0\).

\( x = -\frac{b}{2a}= -\frac{-8}{2\cdot16} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} \).

Ответ: \(x = \frac{1}{4}.\)

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

Количество корней квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.