Упражнение 540 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(5x^2 = 9x + 2\)

\(5x^2 - 9x - 2=0\)

\(a = 5\),  \(b = -9\),  \(c = -2\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-9)^2 - 4\cdot5\cdot(-2) =\)

\(=81 + 40 = 121\);    \(\sqrt{D}=11\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-9) +11}{2\cdot5} =\)

\(=\frac{20}{10} = 2\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-9) -11}{2\cdot5} =\)

\( = \frac{-2}{10} = -0{,}2\).

Ответ: \( x_1 = 2\),  \( x_2 = -0,2\).

б) \(-t^2 = 5t - 14\)

\( -\,t^2 - 5t + 14 = 0 \)    \( /\times (-1)\)

\(t^2 + 5t - 14 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b = 5\),  \(c = -14\)

\(D =b^2 - 4ac = 5^2 - 4\cdot1\cdot(-14) =\)

\(=25 + 56 = 81\);   \(\sqrt{D}=9\).

\( t_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-5 + 9}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{4}{2} = 2\).

\( t_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-5 - 9}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{-14}{2} = -7. \)

Ответ: \( t_1 = 2\),  \( t_2 = -7\).

в) \(6x + 9 = x^2\)

\(-x^2 + 6x + 9 =0\)    \( /\times (-1)\)

\( x^2 - 6x - 9 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b = -6\),  \(c = -9\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-6)^2 - 4\cdot1\cdot(-9) =\)

\(=36 + 36 = 72\);  

\(\sqrt{D}=\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-6) +6\sqrt2}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{\cancel2(3 +3\sqrt2)}{\cancel2} =3 + 3\sqrt2. \)

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-6) +- 6\sqrt2}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{\cancel2(3 - 3\sqrt2)}{\cancel2} =3 - 3\sqrt2. \)

Ответ: \( x_1 =3 + 3\sqrt2 \),

\( x_2 =3 - 3\sqrt2 \).

г) \(z - 5 = z^2 - 25\)

\(z - 5 - z^2 + 25 = 0\)

\(-z^2 + z + 20 = 0\)    \( /\times (-1)\)

\( z^2 - z - 20 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b = -1\),  \(c = -20\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-20) =\)

\(=1 + 80 = 81\);    \(\sqrt{D}=9\).

\( z_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-1) + 9}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{10}{2}=5\).

\( z_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-1) - 9}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{-8}{2}=-4\).

Ответ: \( z_1 = 5\),  \( z_2 = -4\).

д) \(y^2 = 52y - 576\)

\( y^2 - 52y + 576 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b = -52\),  \(c = 576\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-52)^2 - 4\cdot1\cdot576 = \)

\(=2704 - 2304 = 400\);    \( \sqrt{D}=20\).

\( y_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-52) + 20}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{72}{2}= 36\).

\( y_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-52) - 20}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{32}{2}= 16\).

Ответ: \( y_1 = 36\),  \( y_2 = 16\).

е) \(15y^2 - 30 = 22y + 7\)

\(15y^2 - 30 - 22y - 7=0\)

\( 15y^2 - 22y - 37 = 0 \)

\(a = 15\),  \(b = -22\),  \(c = -37\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-22)^2 - 4\cdot15\cdot(-37) =\)

\(=484 + 2220 = 2704\),    \(\sqrt{D}=52\).

\( y_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-22) + 52}{2\cdot15}=\)

\(=\frac{74}{30} = \frac{37}{15} = 2\frac{7}{15}\).

\( y_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-22) - 52}{2\cdot15}=\)

\(= \frac{-30}{30} = -1. \)

Ответ: \( y_1 = 2\frac{7}{15}\),  \( y_2 = -1\).

ж) \(25p^2 = 10p - 1\)

\( 25p^2 - 10p + 1 = 0 \)

\(a = 25\),  \(b = -10\),  \(c = 1\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-10)^2 - 4\cdot25\cdot1 =\)

\(=100 - 100 = 0\).

\( p =-\frac{b}{2a}= -\frac{-10}{2\cdot25} = \frac{10}{50} =\)

\(=\frac{1}{5}=0,2\).

Ответ: \(p = 0,2\).

з) \(299x^2 + 100x = 500 - 101x^2\)

\( 299x^2 + 100x - 500 + 101x^2 = 0 \)

\(400x^2 + 100x - 500 = 0 \)     \( / : 100\)

\(4x^2 + x - 5 = 0\)

\(a = 4\),  \(b = 1\),  \(c = -5\)

\(D =b^2 - 4ac = 1^2 - 4\cdot4\cdot(-5) =\)

\(=1 + 80 = 81\);    \(\sqrt{D}=9\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-1 + 9}{2\cdot4} =\)

\(=\frac{8}{8} = 1\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-1 - 9}{2\cdot4} =\)

\(=\frac{-10}{8} = -\frac{5}{4} = -1,25. \)

Ответ: \( x_1 = 1\),  \( x_2 = -1,25\).

---

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

1. В каждом случае сначала все слагаемые из правой части уравнения перенесли в левую, изменив их знаки на противоположные, и привели подобные слагаемые в левой части уравнения, получили полное квадратное уравнение. Затем, если коэффициент \(a\) получился отрицательный, умножили обе части уравнения на \(-1\).

2. Количество корней полного квадратного уравнения

\(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

а) \(8x^2 - 14x + 5 = 0\)

\(a=8,  k=\frac {-14}{2}=-7,  c = 5\).

\(D_1=k^2 - ac=(-7)^2 - 8\cdot5 = \)

\(=49-40=9\);    \(\sqrt{D_1}=3.\)

\( x_1=\frac{-k+\sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-7)+3}{8}=\)

\(=\frac{10}{8}=\frac54 =1,25 \).

\( x_2=\frac{-k-\sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-7)-3}{8}=\)

\(=\frac{4}{8}=\frac12 = 0,5\).

Ответ: \( x_1=1,25\),   \( x_2=0,5\).

б) \(12x^2 + 16x - 3 = 0\)

\(a=12,  k=\frac {16}{2}=8,  c = -3\).

\(D_1=k^2 - ac=8^2 - 12\cdot(-3) =\)

\(=64+36=100\);    \(\sqrt{D_1}=10\).

\( x_1=\frac{-k+\sqrt{D_1}}{a} =\frac{-8+10}{12}=\)

\(=\frac{2}{12}=\frac16\).

\( x_2=\frac{-k-\sqrt{D_1}}{a} =\frac{-8-10}{12}=\)

\(=\frac{-18}{12}=-\frac32 = -1,5 \).

Ответ: \( x_1=\frac16\),  \( x_2=-1,5\).

в) \(4x^2 + 4x + 1 = 0\)

\(a=4,  k=\frac {4}{2}=2,  c = 1\).

\(D_1=k^2 - ac=2^2 - 4\cdot1 =\)

\(=2-2= 0\)

\( x=-\frac{k}{a}=-\frac{2}{4}=-\frac12=-0,5\).

Ответ: \( x= - 0,5\).

г) \(x^2 - 8x - 84 = 0\)

\(a=1,  k=\frac {-8}{2}=-4,  c = -84\).

\(D_1=k^2 - ac=\)

\(=(-4)^2 - 1\cdot(-84) = \)

\(=6+84=100\),

\(\sqrt{D_1}=10\).

\(x_1=\frac{-k+\sqrt{D_1}}{a} =\frac{-(-4)+10}{1}=14\).

\(x_2=\frac{-k-\sqrt{D_1}}{a} =\frac{-(-4)-10}{1}=-6\).

Ответ: \(x_1=14\),  \(x_2= -6\).

д) \(x^2 + 6x - 19 = 0\)

\(a=1,  k=\frac {6}{2}=3,  c = -19\).

\(D_1=k^2 - ac=3^2 - 1\cdot(-19) =\)

\(=9+19=28\);  

\(\sqrt{D_1}=\sqrt{28}=\sqrt{4\cdot7}=2\sqrt7\).

\(x_1=\frac{-k+\sqrt{D_1}}{a} =\frac{-3+2\sqrt7}{1}=\)

\(=-3+2\sqrt7\).

\(x_2=\frac{-k-\sqrt{D_1}}{a} =\frac{-3-2\sqrt7}{1}=\)

\(=-3-2\sqrt7\).

Ответ: \(x_1=-3+2\sqrt7\),

\(x_2=-3-2\sqrt7\).

е) \(5x^2 + 26x - 24 = 0\)

\(a=5,  k=\frac {26}{2}=13,  c = -24\).

\(D_1=k^2 - ac=13^2 - 5\cdot(-24) = \)

\(=169+120=289\),   \(\sqrt{D_1}=17\).

\(x_1=\frac{-k+\sqrt{D_1}}{a} =\frac{-13+17}{5}=\)

\(=\frac{4}{5}=0,8\).

\(x_2=\frac{-k+\sqrt{D_1}}{a} =\frac{-13-17}{5}=\)

\(=\frac{-30}{5}=-6\).

Ответ: \(x_1=0,8\),  \(x_2=-6\).

ж) \(x^2 - 34x + 289 = 0\)

\(a=1,  k=\frac {-34}{2}=-17,  c = 289\).

\(D_1=k^2 - ac=(-17)^2 - 1\cdot289=\)

\(=289-289= 0\).

\( x=-\frac{k}{a}=-\frac{-17}{1}=17\).

Ответ: \( x=17\).

з) \(3x^2 + 32x + 80 = 0\)

\(a=3,  k=\frac {32}{2}=16,  c = 80\).

\(D_1=k^2 - ac=16^2 - 3\cdot80 = \)

\(=256-240=16\);    \(\sqrt{D_1}=4\).

\(x_1=\frac{-k+\sqrt{D_1}}{a} =\frac{-16+4}{3} =\)

\(=\frac{-12}{3}=-4\).

\(x_2=\frac{-k-\sqrt{D_1}}{a} =\frac{-16-4}{3} =\)

\(=\frac{-20}{3}=-6\frac{2}{3} \).

Ответ: \(x_1=-4\),  \(x_2=-6\frac{2}{3} \).

---

Пояснения:

В каждом уравнении коэффициент \(b\) является четным, то есть \(b = 2k\). В таком случае при решении полного квадратного уравнения

\(ax^2+bx+c=0\) при нахождении дискриминанта можно использовать следующую формулу:

\(D_1=k^2-4ac\),   где \(k = \frac{b}{2}\).

– если \(D_1>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-k+\sqrt{D_1}}{a}\);

\(x_2 =\frac{-k-\sqrt{D_1}}{a}\).

– если \(D_1=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{k}{a}\).

– если \(D_1<0\), то уравнение не имеет корней.