Упражнение 543 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( (x+4)^2=3x+40\)

\(x^2+8x+16=3x+40 \)

\(x^2+8x+16-3x-40=0 \)

\(x^2+5x-24=0\)

\(a = 1\),  \(b = 5\),  \(c = -24\)

\(D =b^2 - 4ac =5^2-4\cdot1\cdot(-24)=\)

\(=25+96=121\);    \(\sqrt D=11\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-5+11}{2\cdot1}= \)

\(=\frac{6}{2}=3\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-5-11}{2\cdot1}= \)

\(=\frac{-16}{2}=-8\).

Ответ: \( x_1 =3\),  \( x_2 = -8\).

б) \( (2p-3)^2=11p-19 \)

\(4p^2-12p+9=11p-19\)

\(4p^2-12p+9-11p+19=0\)

\(4p^2-23p+28=0\)

\(a = 4\),  \(b = -23\),  \(c = 28\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-23)^2-4\cdot4\cdot28=\)

\(=529-448=81\);    \(\sqrt D=9\).

\( p_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-23)+9}{2\cdot4}=\)

\(=\frac{32}{8}=4\).

\( p_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-23)-9}{2\cdot4}=\)

\(=\frac{14}{8}=\frac74=1\frac34\).

Ответ: \( p_1 = 4\), \( p_2 = 1\frac34\).

в) \( 3(x+4)^2=10x+32 \)

\( 3(x^2 + 8x+16)=10x+32 \)

\( 3x^2+24x+48=10x+32 \)

\( 3x^2+24x+48-10x-32=0 \)

\(3x^2+14x+16=0\)

\(a = 3\),  \(b = 14\),  \(c = 16\)

\(D =b^2 - 4ac =14^2-4\cdot3\cdot16=\)

\(=196-192=4\);    \(\sqrt D=2\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-14+2}{2\cdot3} =\)

\(=\frac{-12}{6}=-2\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-14-2}{2\cdot3} =\)

\(=\frac{-16}{6}=-\frac83=-2\frac23\).

Ответ: \( x_1 = -2\),  \( x_2 = -2\frac23\).

г) \( 15y^2+17=15(y+1)^2 \)

\( 15y^2+17=15(y^2 + 2y+1) \)

\(15y^2+17=15y^2+30y+15 \)

\( 30y+15-17=0 \)

\(30y-2=0 \)

\(30y=2 \)

\(y = \frac{2}{30}\)

\(y=\frac{1}{15} \)

Ответ: \(y=\frac{1}{15} \).

д) \( (x+1)^2=7918-2x \)

\(x^2+2x+1=7918-2x \)

\(x^2+2x+1-7918+2x=0 \)

\(x^2+4x-7917=0\)

\(a = 1\),  \(k = \frac42=2\),  \(c = -7917\)

\(D_1 =k^2 - ac =2^2-1\cdot(-7917)=\)

\(=4+7917=7921\);    \(\sqrt D=89\).

\( x_1 = \frac{-k+\sqrt{D_1}}{a}=\frac{-2+89}{1} =87\).

\( x_2 = \frac{-k-\sqrt{D_1}}{a}=\frac{-2-89}{1} =-91\).

Ответ: \( x_1 =87\), \( x_2 =87\).

е) \( (m+2)^2=3131-2m \)

\(m^2+4m+4=3131-2m\)

\(m^2+4m+4-3131+2m=0\)

\(m^2+6m-3127=0\)

\(a = 1\),  \(k = \frac62=3\),  \(c = -3127\)

\(D_1 =k^2 - ac =3^2-1\cdot(-3127)=\)

\(=9+3127=3136\);    \(\sqrt D=56\).

\( m_1 = \frac{-k+\sqrt{D_1}}{a}=\frac{-3+56}{1} =53\).

\( m_2 = \frac{-k-\sqrt{D_1}}{a}=\frac{-3-56}{1} =-59\).

Ответ: \( m_1 =53\),  \( m_2 = -59\).

ж) \( (x+1)^2=(2x-1)^2\)

\(x^2 + 2x + 1 = 4x^2 - 4x + 1\)

\(x^2 + 2x + 1 - 4x^2 + 4x - 1=0\)

\(-3x^2+6x = 0\)    \(/ : (-3)\)

\(x^2-2x = 0\)

\(x(x-2) = 0\)

\(x_1 = 0\)   или   \(x -2 = 0\)

                        \(x_2 = 2\)

Ответ: \(x_1 = 0\),  \(x_2 = 2\).

з) \((n-2)^2+48=(2-3n)^2 \)

\(n^2 - 4n + 4 +48 = 4 - 12n + 9n^2\)

\(n^2 - 4n + 4 +48 - 4 + 12n - 9n^2=0\)

\(-8n^2 + 8n +48=0\)    \(/ : (-8)\)

\(n^2 - n -6=0\)

\(a = 1\),  \(b = -1\),  \(c = -6\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-6)=\)

\(= 1 + 24 = 25\);    \(\sqrt{D} = 5\).

\( n_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-1)+5}{2\cdot1} =\)

\(=\frac62 = 3\).

\( n_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-1)-5}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{-4}{2} = -2\).

Ответ: \( n_1 =3\),  \( n_2 = -2\).

---

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

1. Раскрытие скобок:

- квадрат суммы:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

- квадрат разности:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\);

- свойство степени:

\((ab)^n =a^nb^n\).

2. Все слагаемые из правой части уравнения перенесли в левую, изменив их знаки на противоположные, и привели подобные слагаемые в левой части уравнения, получили квадратное уравнение (полное или неполное) или линейное уравнение.

3. В пунктах а), б), в), з) количество корней полного квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

4. В пунктах д) и е) коэффициент \(c\) довольно большое число, а коэффициент \(b\) является четным, то есть \(b = 2k\). В таком случае при решении полного квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) при нахождении дискриминанта можно использовать следующую формулу:

\(D_1=k^2-4ac\),   где \(k = \frac{b}{2}\).

– если \(D_1>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-k+\sqrt{D_1}}{a}\);

\(x_2 =\frac{-k-\sqrt{D_1}}{a}\).

– если \(D_1=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{k}{a}\).

– если \(D_1<0\), то уравнение не имеет корней.

5. В пункте ж) получилось неполное квадратное уравнение, которое решается разложением на множители, учитывая то, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. При этом получается линейное уравнение вида \(ax = b\), которое пр \(a\neq0\) имеет единственный корень \(x = \frac{a}{b}\).

6. В пункте г) получилось линейное уравнении вида \(ax = b\), которое при \(a\neq0\) имеет единственный корень: \(x = \frac{b}{a}\).

7. Также при решении уравнений из пунктов ж) и з) использовали свойство уравнений, согласно которому корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число.

а) \(25 = 26x - x^2\)

\( x^2 - 26x + 25 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b = -26\),  \(c = 25\)

\(D =b^2 - 4ac = \)

\(=(-26)^2 - 4\cdot1\cdot25 =\)

\(=676 - 100 = 576\);   \( \sqrt{D} = 24. \)

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-26) + 24}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{50}{2} = 25\)

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-26) - 24}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{2}{2} = 1. \)

Ответ: \( x_1 = 25\), \( x_2 =1\).

б) \(3x^2 = 10 - 29x\)

\( 3x^2 + 29x - 10 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = 29\),  \(c = -10\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=29^2 - 4\cdot3\cdot(-10) =\)

\(=841 + 120 = 961\);    \(\sqrt{D} = 31\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{-29 + 31}{2\cdot3} =\)

\(=\frac{2}{6} = \frac13\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{-29 - 31}{2\cdot3} =\)

\(= \frac{-60}{6} = -10. \)

Ответ: \( x_1 =\frac13\), \( x_2 = -10\).

в) \(y^2 = 4y + 96\)

\( y^2 - 4y - 96 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b = -4\),  \(c = -96\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-4)^2 - 4\cdot1\cdot(-96) =\)

\(=16 + 384 = 400\);   \(\sqrt{D} = 20\)

\( y_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) + 20}{2} =\)

\(=\frac{24}{2}= 12\).

\( y_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) - 20}{2} =\)

\(=\frac{-16}{2}= -8\).

Ответ: \( y_1 =12\),  \( y_2 = -8\).

г) \(3p^2 + 3 = 10p\)

\( 3p^2 - 10p + 3 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = -10\),  \(c = 3\)

\(D =b^2 - 4ac =(-10)^2 - 4\cdot3\cdot3 = \)

\(=100 - 36 = 64\);   \(\sqrt{D} = 8\).

\( p_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-10) + 8}{2\cdot3} =\)

\(=\frac{18}{6} = 3\).

\( p_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-10) - 8}{2\cdot3} =\)

\(=\frac{2}{6} = \frac13 \).

Ответ: \( p_1 = 3\), \( p_2 =\frac13 \).

д) \(x^2 - 20x = 20x + 100\)

\(x^2 - 20x - 20x - 100=0\)

\( x^2 - 40x - 100 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -40\),  \(c = -100\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-40)^2 - 4\cdot1\cdot(-100) =\)

\(=1600 + 400 = 2000\)

\(\sqrt{D}=\sqrt{2000} =\sqrt{400\cdot5}= 20\sqrt{5}\)

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-40) + 20\sqrt{5}}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{40 + 20\sqrt{5}}{2} =\frac{\cancel2(20 + 10\sqrt{5})}{\cancel2} =\)

\(=20 + 10\sqrt{5}. \)

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-40) - 20\sqrt{5}}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{40 - 20\sqrt{5}}{2} =\frac{\cancel2(20 - 10\sqrt{5})}{\cancel2} =\)

\(=20 - 10\sqrt{5}. \)

Ответ: \( x_1 =20 + 10\sqrt{5}\),

\(x_2 =20 - 10\sqrt{5}. \)

е) \(25x^2 - 13x = 10x^2 - 7\)

\(25x^2 - 13x - 10x^2 + 7=0\)

\( 15x^2 - 13x + 7 = 0\)

\(a = 15\),  \(b = -13\),  \(c = 7\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-13)^2 - 4\cdot15\cdot7 = \)

\(=169 - 420 = -251 < 0. \)

Ответ: корней нет.

---

Пояснения:

1. В каждом случае сначала все слагаемые из правой части уравнения перенесли в левую, изменив их знаки на противоположные, и привели подобные слагаемые в левой части уравнения, получили полное квадратное уравнение.

2. Количество корней полного квадратного уравнения

\(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.