Упражнение 544 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{x^2 - 1}{2} - 11x = 11 \)   \(/\times2\)

\(x^2 - 1 - 22x = 22 \)

\(x^2 - 1 - 22x - 22=0 \)

\(x^2 - 22x - 23 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -22\),  \(c = -23\)

\(D =b^2 - 4ac = \)

\(=(-22)^2 - 4\cdot1\cdot(-23) = \)

\(=484 + 92 = 576\);    \(\sqrt D = 24\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-22) + 24}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{46}{2}=23\).

\( x_2 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-22) - 24}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{-2}{2}=-1\).

Ответ: \( x_1 = 23\),  \( x_2 = -1\).

б) \( \frac{x^2 + x}{2} = \frac{8x - 7}{3} \)   \(/\times6\)

\(3(x^2 + x) = 2(8x - 7) \)

\(3x^2 + 3x = 16x - 14\)

\(3x^2 + 3x - 16x + 14=0\)

\(3x^2 - 13x + 14 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = -13\),  \(c = 14\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-13)^2 - 4\cdot3\cdot14 =\)

\(=169 - 168 = 1\);    \(\sqrt D = 1\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-13)+ 1}{6} =\)

\(=\frac{14}{6} =\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-13)- 1}{6} =\)

\(=\frac{12}{6} =2\).

Ответ: \( x_1 =2\frac{1}{3}\),  \( x_2 =2\).

в) \( \frac{4x^2 - 1}{3} = x(10x - 9) \)   \(/\times3\)

\( \frac{4x^2 - 1}{3} = 3x(10x - 9) \) 

\( 4x^2 - 1 = 30x^2 - 27x\)

\( 4x^2 - 1 - 30x^2+ 27x=0\)

\(-26x^2 + 27x - 1 = 0\)    \(/\times(-1)\)

\(26x^2 - 27x + 1 = 0\)

\(a = 26\),  \(b = -27\),  \(c = 1\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-27)^2 - 4\cdot26\cdot1 =\)

\(=729 - 104 = 625\);    \(\sqrt D = 25\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-27) + 25}{2\cdot26} =\)

\(=\frac{52}{52}=1\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-27) - 25}{2\cdot26} =\)

\(=\frac{2}{52} = \frac{1}{26} \).

Ответ: \( x_1 =1\),  \( x_2 =\frac{1}{26} \).

г) \( \frac{3}{4}x^2 - \frac{2}{5}x = \frac{4}{5}x^2 + \frac{3}{4} \)    \(/\times20\)

\( 5\cdot3x^2 - 4\cdot2x =4\cdot4x^2 + 5\cdot3 \)

\( 15x^2 - 8x =16x^2 + 15 \)

\( 15x^2 - 8x -16x^2 - 15=0 \)

\(-x^2 - 8x - 15 = 0 \)    \(/\times(-1)\)

\(x^2 + 8x + 15 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 8\),  \(c = 15\)

\(D =b^2 - 4ac =8^2 - 4\cdot1\cdot15 =\)

\(=64 - 60 = 4\);   \(\sqrt D = 2\)

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 2}{2}=\)

\(=\frac{-6}{2}=-3\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 2}{2}=\)

\(=\frac{-10}{2}=-5\).

Ответ: \( x_1 =-3\),  \( x_2 =-5\).

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

1. В каждом уравнении сначала избавились от знаменателей, для этого обе части уравнения умножили на общий знаменатель дробей, входящих в рассматриваемое уравнение.

2) Раскрытие скобок:

\(a(b+c) = ab + ac\).

3. Все слагаемые из правой части уравнения перенесли в левую, изменив их знаки на противоположные, и привели подобные слагаемые в левой части уравнения, получили полное квадратное уравнение вида

\(ax^2+bx+c=0\). Если коэффициент \(a\) после преобразований получился отрицательным, домножили обе части уравнения на \(-1\), чтобы упростить вычисления.

4. Количество корней полного квадратного уравнения зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

а)\((2x - 3)(5x + 1) = 2x + \frac{2}{5}\)

\( 10x^2 + 2x - 15x - 3 = 2x + \frac25 \)

\( 10x^2 + \cancel{2x} - 15x - 3 - \cancel{2x} - \frac25 = 0\)

\(10x^2 - 15x - 3\frac{2}{5} = 0 \)

\(10x^2 - 15x - \frac{17}{5} = 0 \)   \( / \times5\)

\(50x^2 - 75x - 17 = 0\)

\(a = 50\),  \(b = -75\),  \(c = -17\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-75)^2 - 4\cdot50\cdot(-17) =\)

\(=5625 + 3400 = 9025\);

\( \sqrt{D} = 95\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-75) + 95}{100}=\)

\(=\frac{170}{100} = 1{,}7\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-75) - 95}{100}=\)

\( = \frac{-20}{100} = -0{,}2. \)

Ответ: \( x_1 = 1,7\),  \( x_2 = -0,2\).

б) \((3x - 1)(x + 3) = x(1 + 6x)\)

\(3x^2 + 9x -x - 3 = x + 6x^2\)

\(3x^2 + 9x -x - 3 - x - 6x^2=0\)

\(-3x^2 + 7x - 3 = 0\)   \( /\times(-1)\)

\(3x^2 - 7x + 3 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = -7\),  \(c = 3\)

\(D =b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot3\cdot3 =\)

\(=49 - 36 = 13\),     \(\sqrt{D} = \sqrt{13}\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=  \frac{-(-7)+ \sqrt{13}}{2\cdot3}=\)

\(=\frac{7+ \sqrt{13}}{6}\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=  \frac{-(-7)- \sqrt{13}}{2\cdot3}=\)

\(=\frac{7- \sqrt{13}}{6}\).

Ответ: \( x_1 =\frac{7+ \sqrt{13}}{6}\), 

\(x_2=\frac{7- \sqrt{13}}{6}\).

в) \((x - 1)(x + 1) = 2\bigl(5x - 10\frac12\bigr)\)

\(x^2 - 1=2(5x -10,5)\)

\(x^2 - 1= 10x - 21\)

\( x^2 - 1 - 10x + 21 =0\)

\( x^2 - 10x + 20 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -10\),  \(c = 20\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-10)^2-4\cdot1\cdot20=\)

\(=100 - 80 = 20\);   

\(\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt{5}\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-10) + 2\sqrt{5}}{2} =\)

\(=\frac{10 + 2\sqrt{5}}{2} = \frac{\cancel2(5 + \sqrt{5})}{\cancel2} =\)

\(=5 + \sqrt{5}. \)

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-10) - 2\sqrt{5}}{2} =\)

\(=\frac{10 - 2\sqrt{5}}{2} = \frac{\cancel2(5 - \sqrt{5})}{\cancel2} =\)

\(=5 - \sqrt{5}. \)

Ответ: \( x_1 = 5 + \sqrt{5} \), 

\( x_2 =5 - \sqrt{5}. \)

г) \(-x(x + 7) = (x - 2)(x + 2)\)

\(-x^2 - 7x = x^2 - 4\)

\( -x^2 - 7x - x^2 + 4 =0\)

\( -2x^2 - 7x + 4 = 0 \)   \(/\times(-1)\)

\(2x^2 + 7x - 4 = 0\)

\(a = 2\),  \(b = 7\),  \(c = -4\)

\(D =b^2 - 4ac = 7^2 - 4\cdot2\cdot(-4) =\)

\(=49 + 32 = 81\);     \(\sqrt{D} = 9\).

\(x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-7 + 9}{2\cdot2}=\)

\( = \frac{2}{4} = 0{,}5\).

\(x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-7 - 9}{2\cdot2}=\)

\(=\frac{-16}{4} = -4 \).

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

1. Раскрытие скобок:

- умножение многочлена на многочлен:

\((a + b)(c+d) = ac + ad + bc+bd\);

- умножение одночлена на многочлен:

\(a(b + c\) = ab + ac\);

- разность квадратов двух выражений:

\((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\).

2. Все слагаемые из правой части уравнения перенесли в левую, изменив их знаки на противоположные, и привели подобные слагаемые в левой части уравнения, получили полное квадратное уравнение. Если коэффициент \(a\) получился отрицательный, умножили обе части уравнения на \(-1\).

3. Количество корней полного квадратного уравнения

\(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.