Упражнение 539 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(2x^2 - 5x - 3 = 0\)

\(a = 2\),  \(b = -5\),  \(c = -3\)

\(D =b^2 - 4ac =(-5)^2 - 4\cdot2\cdot(-3) = \)

\(=25 + 24 = 49\)4    \(\sqrt D=7\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\)

\(=\frac{-(-5)+7}{2\cdot2} =\)

\(=\frac{12}{4}=3\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-5)-7}{2\cdot2} =\)

\( = \frac{-2}{4}=-\frac12 = -0,5 \)

Ответ: \( x_1 =3\),  \( x_2 = -0,5\).

б) \(3x^2 - 8x + 5 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = -8\),  \(c = 5\)

\(D =b^2 - 4ac =(-8)^2 - 4\cdot3\cdot5 =\)

\(=64 - 60 = 4\);     \(\sqrt D=2 \).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-8)+2}{2\cdot3}= \)

\(=\frac{10}{6}=\frac53 = 1\frac23\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-8)-2}{2\cdot3}= \)

\(=\frac{6}{6}=1\).

Ответ: \( x_1 =1\frac23\),  \( x_2 =1\).

в) \(5x^2 + 9x + 4 = 0\)

\(a = 5\),  \(b = 9\),  \(c = 4\)

\(D =b^2 - 4ac =9^2 - 4\cdot5\cdot4 =\)

\(=81 - 80 = 1\),    \(\sqrt D=1\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-9+1}{2\cdot5}=\)

\(=\frac{-8}{10}=-0,8\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-9-1}{2\cdot5}=\)

\( = \frac{-10}{10}=-1 \).

Ответ: \( x_1 = -0,8\),  \( x_2=-1\).

г) \(36y^2 - 12y + 1 = 0\)

\(a = 36\),  \(b = -12\),  \(c = 1\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-12)^2 - 4\cdot36\cdot1 =\)

\(=144 - 144 = 0. \)

\( y =-\frac{b}{2a}= \frac{\cancel{12}  ^1}{2\cdot\cancel{36}_3} = \frac16\)

Ответ: \(y = \frac16\).

д) \(3t^2 - 3t + 1 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = -3\),  \(c = 1\)

\(D =b^2 - 4ac =(-3)^2 - 4\cdot3\cdot1 =\)

\(=9 - 12 = -3 < 0. \)

Ответ: корней нет.

е) \(x^2 + 9x - 22 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 9\),  \(c = -22\)

\(D =b^2 - 4ac =9^2 - 4\cdot1\cdot(-22) =\)

\(=81 + 88 = 169\);    \(\sqrt D=13\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-9+13}{2} =\)

\(=\frac{4}{2}=2\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-9-13}{2} =\)

\(= \frac{-22}{2}=-11\).

Ответ: \( x_1 =2\),  \( x_2 =-11\).

ж) \(y^2 - 12y + 32 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -12\),  \(c = 32\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-12)^2 - 4\cdot1\cdot32 =\)

\(=144 - 128 = 16\);    \(\sqrt D=4. \)

\( y_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-12)+4}{2} = \)

\(=\frac{16}{2}=8\).

\( y_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-12)-4}{2} = \)

\(= \frac{8}{2}=4 \).

Ответ: \( y_1 =8\),  \( y_2 =4\).

з) \(100x^2 - 160x + 63 = 0\)

\(a = 100\),  \(b = -160\),  \(c = 63\)

\(D =b^2 - 4ac = \)

\(=(-160)^2 - 4\cdot100\cdot63 =\)

\(=25600 - 25200 = 400\),   \(\sqrt D=20 \).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{160+20}{2\cdot100} =\)

\(=\frac{180}{200}=\frac{9}{10} = 0,9\).

\( x_2 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{160-20}{2\cdot100} =\)

\(= \frac{140}{200}=\frac{7}{10}=0,7 \).

Ответ: \( x_1 = 0,9\),  \( x_2 =0,7\).

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

Количество корней квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

а) \(3x^2 - 14x + 16 = 0\)

\(a=3,  k=\frac {-14}{2}=-7,  c = 16\).

\(D_1=k^2 - ac=(-7)^2 - 3\cdot16 =\)

\(=49-48 = 1\);    \(\sqrt{D_1}=1.\)

\( x_1=\frac{-k+\sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-7)+1}{3} =\)

\(=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}\).

\( x_2=\frac{-k-\sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-7)-1}{3} =\)

\(=\frac{6}{3}=2\).

Ответ: \( x_1=2\frac{2}{3}\),  \(x_2 = 2\).

б) \(5x^2 - 16x + 3 = 0\)

\(a=5,  k=\frac {-16}{2}=-8,  c = 3\).

\(D_1=k^2 - ac=(-8)^2 - 5\cdot3 =\)

\(=64-15 = 49\);    \(\sqrt{D_1}=7\).

\( x_1=\frac{-k+\sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-8)+7}{5}=\)

\(=\frac{15}{5}=3\).

\( x_2=\frac{-k-\sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-8)-7}{5}=\)

\(=\frac{1}{5} = 0,2\).

Ответ: \( x_1=3\),  \( x_2=0,2\).

в) \(x^2 + 2x - 80 = 0\)

\(a=1,  k=\frac {2}{2}=1,  c = -80\).

\(D_1=k^2 - ac=1^2 - 1\cdot(-80) = \)

\(=1+80 = 81\);    \(\sqrt{D_1}=9\) .

\( x_1=\frac{-k+\sqrt{D_1}}{a} = \frac{-1+9}{1}= \)

\(=\frac81=8\).

\( x_2=\frac{-k-\sqrt{D_1}}{a} = \frac{-1-9}{1}= \)

\(=\frac{-10}{1}=-10\).

Ответ: \( x_1= 8\),   \( x_2=-10\).

г) \(x^2 - 22x - 23 = 0\)

\(a=1,  k=\frac {-22}{2}=-11,  c = -23\).

\(D_1=k^2 - ac=\)

\(=(-11)^2 - 1\cdot(-23) =\)

\(=121+23 = 144\);    \(\sqrt{D_1}=12.\)

\(x_1=\frac{-k+\sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-11)+12}{1}=\)

\(=\frac{23}{1}=23\).

\(x_2=\frac{-k-\sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-11)-12}{1}=\)

\(=\frac{-1}{1}=-1\).

Ответ: \(x_1=23\),   \(x_2= -1\).

д) \(4x^2 - 36x + 77 = 0\)

\(a=4,  k=\frac {-36}{2}=-18,  c = 77\).

\(D_1=k^2 - ac=(-18)^2 - 4\cdot77 =\)

\(=324-308 =16\),    \(\sqrt{D_1}=4.\)

\(x_1=\frac{-k+\sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-18)+4}{4} =\)

\(=\frac{22}{4}=\frac{11}{2} = 5,5\).

\(x_2=\frac{-k-\sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-18)-4}{4} =\)

\(=\frac{14}{4}=\frac{7}{2} = 3,5\).

Ответ: \(x_1=5,5\),  \(x_2=3,5\).

е) \(15y^2 - 22y - 37 = 0\)

\(a=15,  k=\frac {-22}{2}=-11,  c = -37\).

\(D_1=k^2 - ac=\)

\(=(-11)^2 - 15\cdot(-37) = \)

\(=121+555 = 676\);    \(\sqrt{D_1}=26.\)

\(y_1=\frac{-k+\sqrt{D_1}}{a} =\frac{-(-11)+26}{15} =\)

\(=\frac{37}{15}=2\frac{7}{15}\).

\(y_2=\frac{-k-\sqrt{D_1}}{a} =\frac{-(-11)-26}{15} =\)

\(=\frac{-15}{15}=-1\).

Ответ: \(y_1=2\frac{7}{15}\),  \(y_2=-1\).

ж) \(7z^2 - 20z + 14 = 0\)

\(a=7,  k=\frac {-20}{2}=-10,  c = 14\).

\(D_1=k^2 - ac=(-10)^2 - 7\cdot14 = \)

\(=100-98 = 2\);    \(\sqrt{D_1}=\sqrt2.\)

\(z_1=\frac{-k+\sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-10)+\sqrt2}{7}= \)

\(=\frac{10+\sqrt2}{7} \).

\(z_2=\frac{-k-\sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-10)-\sqrt2}{7}= \)

\(=\frac{10-\sqrt2}{7} \).

Ответ: \(z_1=\frac{10+\sqrt2}{7} \), 

\(z_2=\frac{10-\sqrt2}{7} \).

з) \(y^2 - 10y - 25 = 0\).

\(a=1,  k=\frac {-10}{2}=-5,  c = -25\).

\(D_1=k^2 - ac=\)

\(=(-5)^2 - 1\cdot(-25) =\)

\(=25+25 = 50\);   

\(\sqrt{D_1}=\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt{2}\).

\(y_1=\frac{-k+\sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-5)+5\sqrt{2}}{1} =\)

\(=5+5\sqrt2\).

\(y_2=\frac{-k-\sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-5)-5\sqrt{2}}{1} =\)

\(=5-5\sqrt2\).

Ответ: \(y_1=5+5\sqrt2\), 

\(y_2=5-5\sqrt2\).

Пояснения:

В каждом уравнении коэффициент \(b\) является четным, то есть \(b = 2k\). В таком случае при решении полного квадратного уравнения

\(ax^2+bx+c=0\) при нахождении дискриминанта можно использовать следующую формулу:

\(D_1=k^2-4ac\),   где \(k = \frac{b}{2}\).

– если \(D_1>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-k+\sqrt{D_1}}{a}\);

\(x_2 =\frac{-k-\sqrt{D_1}}{a}\).

– если \(D_1=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{k}{a}\).

– если \(D_1<0\), то уравнение не имеет корней.