Упражнение 538 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(8x^2 - 14x + 5 = 0\)

\(a=8,  k=\frac {-14}{2}=-7,  c = 5\).

\(D_1=k^2 - ac=(-7)^2 - 8\cdot5 = \)

\(=49-40=9\);    \(\sqrt{D_1}=3.\)

\( x_1=\frac{-k+\sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-7)+3}{8}=\)

\(=\frac{10}{8}=\frac54 =1,25 \).

\( x_2=\frac{-k-\sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-7)-3}{8}=\)

\(=\frac{4}{8}=\frac12 = 0,5\).

Ответ: \( x_1=1,25\),   \( x_2=0,5\).

б) \(12t^2 + 16t - 3 = 0\)

\(a=12,  k=\frac {16}{2}=8,  c = -3\).

\(D_1=k^2 - ac=8^2 - 12\cdot(-3) =\)

\(=64+36=100\);    \(\sqrt{D_1}=10\).

\( t_1=\frac{-k+\sqrt{D_1}}{a} =\frac{-8+10}{12}=\)

\(=\frac{2}{12}=\frac16\).

\( t_2=\frac{-k-\sqrt{D_1}}{a} =\frac{-8-10}{12}=\)

\(=\frac{-18}{12}=-\frac32 = -1,5 \).

Ответ: \( t_1=\frac16\),  \( t_2=-1,5\).

в) \(4p^2 + 4p + 1 = 0\)

\(a=4,  k=\frac {4}{2}=2,  c = 1\).

\(D_1=k^2 - ac=2^2 - 4\cdot1 =\)

\(=2-2= 0\)

\( p=-\frac{k}{a}=-\frac{2}{4}=-\frac12=-0,5\).

Ответ: \( p= - 0,5\).

г) \(x^2 - 8x - 84 = 0\)

\(a=1,  k=\frac {-8}{2}=-4,  c = -84\).

\(D_1=k^2 - ac=\)

\(=(-4)^2 - 1\cdot(-84) = \)

\(=6+84=100\),

\(\sqrt{D_1}=10\).

\(x_1=\frac{-k+\sqrt{D_1}}{a} =\frac{-(-4)+10}{1}=14\).

\(x_2=\frac{-k-\sqrt{D_1}}{a} =\frac{-(-4)-10}{1}=-6\).

Ответ: \(x_1=14\),  \(x_2= -6\).

д) \(m^2 + 6m - 19 = 0\)

\(a=1,  k=\frac {6}{2}=3,  c = -19\).

\(D_1=k^2 - ac=3^2 - 1\cdot(-19) =\)

\(=9+19=28\);  

\(\sqrt{D_1}=\sqrt{28}=\sqrt{4\cdot7}=2\sqrt7\).

\(m_1=\frac{-k+\sqrt{D_1}}{a} =\frac{-3+2\sqrt7}{1}=\)

\(=-3+2\sqrt7\).

\(m_2=\frac{-k-\sqrt{D_1}}{a} =\frac{-3-2\sqrt7}{1}=\)

\(=-3-2\sqrt7\).

Ответ: \(m_1=-3+2\sqrt7\),

\(m_2=-3-2\sqrt7\).

е) \(5y^2 + 26y - 24 = 0\)

\(a=5,  k=\frac {26}{2}=13,  c = -24\).

\(D_1=k^2 - ac=13^2 - 5\cdot(-24) = \)

\(=169+120=289\),   \(\sqrt{D_1}=17\).

\(m_1=\frac{-k+\sqrt{D_1}}{a} =\frac{-13+17}{5}=\)

\(=\frac{4}{5}=0,8\).

\(m_2=\frac{-k+\sqrt{D_1}}{a} =\frac{-13-17}{5}=\)

\(=\frac{-30}{5}=-6\).

Ответ: \(m_1=0,8\),  \(m_2=-6\).

ж) \(z^2 - 34z + 289 = 0\)

\(a=1,  k=\frac {-34}{2}=-17,  c = 289\).

\(D_1=k^2 - ac=(-17)^2 - 1\cdot289=\)

\(=289-289= 0\).

\( z=-\frac{k}{a}=-\frac{-17}{1}=17\).

Ответ: \( z=17\).

з) \(3x^2 + 32x + 80 = 0\)

\(a=3,  k=\frac {32}{2}=16,  c = 80\).

\(D_1=k^2 - ac=16^2 - 3\cdot80 = \)

\(=256-240=16\);    \(\sqrt{D_1}=4\).

\(x_1=\frac{-k+\sqrt{D_1}}{a} =\frac{-16+4}{3} =\)

\(=\frac{-12}{3}=-4\).

\(x_2=\frac{-k-\sqrt{D_1}}{a} =\frac{-16-4}{3} =\)

\(=\frac{-20}{3}=-6\frac{2}{3} \).

Ответ: \(x_1=-4\),  \(x_2=-6\frac{2}{3} \).

Пояснения:

В каждом уравнении коэффициент \(b\) является четным, то есть \(b = 2k\). В таком случае при решении полного квадратного уравнения

\(ax^2+bx+c=0\) при нахождении дискриминанта можно использовать следующую формулу:

\(D_1=k^2-4ac\),   где \(k = \frac{b}{2}\).

– если \(D_1>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-k+\sqrt{D_1}}{a}\);

\(x_2 =\frac{-k-\sqrt{D_1}}{a}\).

– если \(D_1=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{k}{a}\).

– если \(D_1<0\), то уравнение не имеет корней.

а) \( x^2 - 6x = 5x - 18 \)

\( x^2 - 6x - 5x + 18 = 0\)

\( x^2 - 11x + 18 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b = -11\),  \(c = 18\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-11)^2 - 4\cdot1\cdot18 =\)

\(=121 - 72 = 49 \);     \(\sqrt{D} = 7\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-11) + 7}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{18}{2} = 9\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-11) - 7}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{4}{2} = 2\).

Ответ: при \( x_1 = 9\) и \( x_2 = 2\).

б) \( 3x^2 - 4x + 3 = x^2 + x + 1 \)

\( 3x^2 - 4x + 3 - x^2 - x - 1=0 \)

\( 2x^2 - 5x + 2 = 0 \)

\(a = 2\),  \(b = -5\),  \(c = 2\)

\(D =b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4\cdot2\cdot2 =\)

\(=25 - 16 = 9\);    \(\sqrt{D} = 3\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-5) + 3}{2\cdot2} =\)

\(=\frac{8}{4} = 2\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-5) - 3}{2\cdot2} =\)

\(=\frac{2}{4} = 0,5\).

Ответ: при \(x_1 = 2\) и \(x_2 =0,5\).

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

1. В каждом случае по условию составили уравнение, затем все слагаемые из правой части уравнения перенесли в левую, изменив их знаки на противоположные, и привели подобные слагаемые в левой части уравнения, в результате чего получилось полное квадратное уравнение.

2. Количество корней полного квадратного уравнения

\(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.