Упражнение 615 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(3\,(x+4)^2=10x+32 \)

\(3\,(x^2+8x+16)=10x+32\)

\(3x^2+24x+48-10x-32=0 \)

\(3x^2+14x+16=0\)

\(a = 3\),  \(b = 14\),  \(c = 16\)

\(D=b^2-4ac=14^2-4\cdot3\cdot16=\)

\(=196-192=4\),    \(\sqrt D = 2\).

\(x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_1=\dfrac{-14+2}{6}=\dfrac{-12}{6}=-2\),

\(x_2=\dfrac{-14-2}{6}=\dfrac{-16}{6}=\dfrac{-8}{3}=-2\dfrac{2}{3}\),

Ответ: \(-2;   -\dfrac{8}{3}.\)

б) \(31x+77=15\,(x+1)^2\)

\(31x+77=15\,(x^2+2x+1) \)

\(31x+77=15x^2+30x+15) \)

\(-15x^2+31x-30x+77-15=0 \)

\(-15x^2+x+62=0\)   \(/\times(-1)\)

\(15x^2-x-62=0\)

\(a = 15\),  \(b = -1\),  \(c = -62\)

\(D=b^2-4ac=\)

\(=(-1)^2-4\cdot15\cdot(-62)=\)

\(=1+3720=3721\),   \(\sqrt D = 61\).

\(x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_1=\dfrac{-(-1)+61}{2\cdot15}=\dfrac{62}{30}=\dfrac{31}{15}=2\dfrac{1}{15}\),

\(x_2=\dfrac{-(-1)-61}{2\cdot15}=\dfrac{-60}{30}=-2\).

Ответ: \(\dfrac{31}{15};  -2.\)

Пояснения:

Используемые формулы и приёмы:

— Квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

— Распределительное свойство умножения:

\(k(a + b + c) = ka + kb + kc\).

— Приведение к нулю: перенос всех членов в левую часть и приведение подобных.

— Дискриминант квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\):

\(D=b^2-4ac\);

корни \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\).

а) \( \dfrac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\sqrt{x}=\)

\(= \dfrac{(\sqrt{x})^2-(\sqrt{y})^2}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\sqrt{x}=\)

\(= \dfrac{\cancel{(\sqrt{x}-\sqrt{y})}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\cancel{\sqrt{x}-\sqrt{y}}}-\sqrt{x}=\)

\(=\cancel{\sqrt{x}}+\sqrt{y} - \cancel{\sqrt x}=\sqrt{y}\).

б) \(\sqrt{x} -\dfrac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\)

\(=\sqrt{x} -\dfrac{(\sqrt{x})^2-(\sqrt{y})^2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\)

\(=\sqrt{x} -\dfrac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})\cancel{(\sqrt{x}+\sqrt{y})}}{\cancel{\sqrt{x}+\sqrt{y}}}=\)

\(=\sqrt{x} -(\sqrt{x} -\sqrt{y} )=\)

\(=\cancel{\sqrt{x}} -\cancel{\sqrt{x}} + \sqrt{y} =\sqrt{y}\)

Пояснения:

Использованные приемы:

- Свойство корня:

\((\sqrt x)^2 = x\).

- Разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).

- Сокращение дробей:

\(\frac{ka}{kb} = \frac{a}{b}\).

- Противоположные выражения:

\(a - b = -(b - a)\).