Упражнение 618 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(2x^{2}-2x+\frac12=0\)   \(/\times2\)

\(4x^{2}-4x+1=0\)

\(a = 4\),  \(b = -4\),  \(c = 1\)

\(D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot4\cdot1=\)

\(=16-16=0\) - один корень.

\(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-\cancel4^1}{2\cdot\cancel4_1}=\frac12=0,5\).

\(2x^{2}-2x+\frac12= 2(x-0,5)^2.\)

б) \(-9x^{2}+12x-4=0\)   \(/\times(-1)\)

\(9x^{2}-12x+4=0\)

\(a =9 \),  \(b = -12\),  \(c = 4\)

\(D = b^2 - 4ac =(-12)^2-4\cdot9\cdot4=\)

\(=144-144 =0\) - один корень.

\(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-12}{2\cdot9}=\frac{12}{18}=\frac23\).

\(-9x^{2}+12x-4=-9(x-\frac23)^2\)

в) \(16a^{2}+24a+9=0\)

\(a = 16\),  \(b = 24\),  \(c = 9\)

\(D = b^2 - 4ac=24^2 - 4\cdot16\cdot9=\)

\(=576 - 576 = 0\) - один корень.

\(a=-\frac{b}{2a}=-\frac{\cancel{24}  ^3}{2\cdot\cancel{16}_2}=-\frac34\)

\(16a^{2}+24a+9=16(a+\frac34)\).

г) \(0{,}25\,m^{2}-2m+4=0\)    \(/\times(4)\)

\(m^{2}-8m+16=0\) 

\(a = 1\),  \(b = -8\),  \(c = 16\)

\(D = b^2 - 4ac=(-8)^2 -4\cdot1\cdot16 =\)

\(=64 - 64 = 0\) - один корень.

\(m=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\cdot1}=4\)

\(0{,}25\,m^{2}-2m+4=0,25(m-4)^2\).

Пояснения:

Использованные приемы:

1) Если квадратный трехчлен

\(ax^2 + bx+c\) имеет корни, то его можно разложить на множители

\(ax^2 + bx+c=a(x - x_1)(x-x_2)\),

где  \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трёхчлена.

2) Корни уравнения не изменяются, если обе его части разделить или умножить на одно и то же число.

3) При решении уравнений сначала находим дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), чтобы определить количество корней. При \(D=0\) уравнение имеет один двойной корень, обозначим его \(x_0\), то есть \(x_1 = x_2\), тогда разложение квадратного трехчлена на множители можно записать так:

\(ax^2 + bx+c=a(x - x_0)^2\),

4) Корни квадратных уравнений при \(D = 0\) находим по формуле:

\(x= -\frac{b}{2a}\).

Составим уравнение:

\(\frac{120}{x}-\frac{120}{x+20}=1\) \(/\times x(x+20)\)

ОДЗ: \(x \neq0\)  и  \( x + 20 \neq0\)

                          \(x \neq -20\)

\(120(x + 20) - 120x =x(x + 20)\)

\(\cancel{120x} + 2400 - \cancel{120x} = x^2 +20x\)

\(x^2 +20 x - 2400 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 20\),  \(c = -2400\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=20^2 - 4\cdot1\cdot(-2400)=\)

\(=400 + 9600=10000\),    \(\sqrt D = 100\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-20+100}{2\cdot1}=\frac{80}{2}=40\).

\( x_2 = \frac{-20-100}{2\cdot1}=\frac{-120}{2}=-60\) - не удовлетворяет условию (\(x>0\)).

1) \(40\) (км/ч) - скорость первого автомобиля.

2) \(40+20=60\) (км/ч) - скорость второго автомобиля.

Ответ: \(40\) км/ч и \(60\) км/ч.

Пояснения:

Время в пути: \(\,t=\dfrac{S}{v}\). Для медленного и быстрого автомобилей соответственно: \[ t_{1}=\frac{120}{x},\qquad t_{2}=\frac{120}{x+20}. \] По условию \(t_{1}-t_{2}=1\), откуда получено дробное рациональное уравнение:

\(\frac{120}{x}-\frac{120}{x+20}=1\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение

\(x^2 +20 x - 2400 = 0\), у которого дискриминант больше нуля, следовательно, имеем два корня уравнения:

\(x_1 = 40\) и \(x_2 = -60\).

Отрицательный корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательным числом.

Значит, скорость первого автомобиля равна \(40\) км/ч. Скорость второго автомобиля на 20 км/ч больше, значит, она равна:

\(40+20=60\) (км/ч).